DGL mit periodischer Lösung

09.06.2012, 11:13

MatheMama2012

DGL mit periodischer Lösung

zeige, dass

$\begin{eqnarray*} x'(t) = x(t) + p(t) , p \omega - periodisch \end{eqnarray*}$

genau eine Lösung mit der selben Periode hat.

Also wie die Lösung aussieht, ist mir ja klar.

$\begin{eqnarray*} x(t) = t_o \cdot e^{t} + \int\limits_{t_{o}}^{t}~{e^{-s} \cdot p(s) ~{\mathrm{d}s}} \end{eqnarray*}$

diese ist für jeden Startwert $\begin{eqnarray*} t_o \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Ich muss also nur noch zeigen dass sie periodisch ist. Und genau hier hakt es.

Vieleihct kann mir ja jemand einen Tip geben, wie ich das machen könnte.

Danke

09.06.2012, 12:25

HAL 9000

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Die DGL soll ja auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gelten, da kann man auch gleich mit $\begin{eqnarray*} t_0=0 \end{eqnarray*}$ arbeiten. Die allgemeine Lösung dieser DGL lautet

$\begin{eqnarray*} x(t) = \left( C + \int\limits_0^t e^{-s}\cdot p(s) ~ \dd s \right) \cdot e^t \end{eqnarray*}$

mit einer Integrationskonstanten $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Über die Forderung der Periodizität $\begin{eqnarray*} x(t+\omega)=x(t) \end{eqnarray*}$ kann man nun den einen dazu passenden Wert $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ herausfinden.

11.06.2012, 12:27

MatheMama2012

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Irgendwie birngt mich das überhaupt nicht weiter.... unglücklich

11.06.2012, 13:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von MatheMama2012
Irgendwie birngt mich das überhaupt nicht weiter....

Nach zwei Tagen fällt dir nichts weiter ein als dieser abgedroschene, dämliche, destruktive Spruch, den es hier im Forum leider immer wieder zu lesen gibt. Warum versuchst du das (oder was anderes) nicht wenigstens bzw. zeigst nichts von diesen Versuchen? unglücklich

Die obige allgemeine Lösung ergibt an der Stelle $\begin{eqnarray*} t+\omega \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t+\omega) = \left( C + \int\limits_0^{t+\omega} e^{-s}\cdot p(s) ~ \dd s \right) \cdot e^{t+\omega} = \left( C + I + \int\limits_{\omega}^{t+\omega} e^{-s}\cdot p(s) ~ \dd s \right) \cdot e^{t+\omega} \end{eqnarray*}$

mit dem abgetrennten Teilintegral $\begin{eqnarray*} I:= \int\limits_0^{\omega} e^{-s}\cdot p(s) ~ \dd s \end{eqnarray*}$ . Im verbleibenden Integral substituieren wir jetzt $\begin{eqnarray*} s=u+\omega \end{eqnarray*}$ und erhalten

$\begin{eqnarray*} x(t+\omega) = \left( C + I + \int\limits_0^t e^{-(u+\omega)}\cdot p(u+\omega) ~ \dd u \right) \cdot e^{t+\omega} = \left( (C + I)e^{\omega} + \int\limits_0^t e^{-u}\cdot p(u+\omega) ~ \dd u \right) \cdot e^t \end{eqnarray*}$ .

Nutzt man jetzt das wegen der $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ -Periodizität von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ geltende $\begin{eqnarray*} p(u+\omega)=p(u) \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x(t+\omega) = \left( (C + I)e^{\omega} + \int\limits_0^t e^{-u}\cdot p(u) ~ \dd u \right) \cdot e^t = x(t) + \left( (C + I)e^{\omega} - C \right) \cdot e^t \end{eqnarray*}$ .

Die Forderung $\begin{eqnarray*} x(t+\omega)=x(t) \end{eqnarray*}$ kann nun erfüllt werden, indem man $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ so wählt, dass im Klammerausdruck rechts $\begin{eqnarray*} (C + I)e^{\omega} - C = 0 \end{eqnarray*}$ wird, was nach Umstellung für

$\begin{eqnarray*} C^* := -\frac{I}{1-e^{-\omega}} = -\frac{1}{1-e^{-\omega}}\cdot \int\limits_0^{\omega} e^{-s}\cdot p(s) ~ \dd s \end{eqnarray*}$

der Fall ist - und offenbar auch nur für diese eine Wahl von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

11.06.2012, 14:38

MatheMama2012

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Danke. Hat ein bisschen gedauert aber jetzt hab ich es vestanden... Gott

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