Kongruenzen

28.01.2007, 20:30

Bernd1983

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Kongruenzen

hi, hätte da noch ein bsp, welches mir Kopfzerbrechen bereitet:

Für

Lösung: k=1 , 3, 4,7,8,9,12,16

gilt zumindest eine der Kongruenzen

(a) 2^1026=k(mod20)
(b) 2^1030=k(mod20)
(c) 2^1040=k(mod20)
(d) 2^1051=k(mod20)
(e) 2^2049=k(mod20)
(f) 7^1026=k(mod20)
(g) 7^1030=k(mod20)
(h) 7^1040=k(mod20)
(i) 7^1051=k(mod20)
(j) 7^2049=k(mod20)

Wie komme ich auf diese Lösung?

Danke im voraus

28.01.2007, 21:00

piloan

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hat jede der Gleichungen eine Lsg von k=1,2,3.... oder nur eine ?

28.01.2007, 21:08

Bernd1983

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dh wenn ich entweder 1 oder 3, 7,8,9,12 oder 16 in irgendeine Gleichung einsetze kann - ist es richtig bzw. gilt eine der Formeln

28.01.2007, 21:18

piloan

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jo ok

$\begin{eqnarray*} 2^{1026}=(2^6)^{171}\equiv 4^{171}=(4^3)^{57} \equiv 4^{57} \end{eqnarray*}$ und so weiter

28.01.2007, 21:19

Bernd1983

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also thx für die Antwort, nur weiss ganz und gar nicht was ich jetzt damit anfangen soll?

28.01.2007, 21:59

Bernd1983

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also weiss niemand wer etwas?

ich weiss einfach nicht was ich da prüfen soll

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28.01.2007, 22:06

piloan

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wuerde dann so weiter machen

$\begin{eqnarray*} 4^{57}=(4^3)^{19}\equiv4^{19}=4^{18}*4=(4^3)^6*4\equiv 4^6*4=(4^3)^2*4\equiv 4^2*4=4^3\equiv 4 mod 20 \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 22:37

Bernd1983

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tut mir leid. aber ich verstehe nicht in welcher weise dies für mein bsp relevant ist??

28.01.2007, 22:48

piloan

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hi
ich wollte dir damit den rechenweg fuer solche kongruenzen zeigen

ist dir denn ueberhaupt klar warum

$\begin{eqnarray*} 4^3 \equiv 4 mod 20 \end{eqnarray*}$ ist?

28.01.2007, 22:50

therisen

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Piloan hat damit gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} 2^{1026} \equiv 4 \pmod {20} \end{eqnarray*}$ ist.

28.01.2007, 23:10

Bernd1983

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hmm also ich werde da nicht schlauer. was soll ich damit jetzt konkret bei meinem bsp anfangen??

28.01.2007, 23:12

piloan

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was is denn genau dein problem ?...
was verstehst du daran nicht ?...weisst du denn ueberhaupt was

$\begin{eqnarray*} a \equiv b \pmod c \end{eqnarray*}$ heißt ...musst mir sasgen was du nicht verstehst damit ich helfen kann

28.01.2007, 23:23

Bernd1983

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also:

1. das bedeutet das a mod c und b mod c den gleichen Rest hat.

zu meinem bsp.: soll ich jetzt bei jeder Gleichung so vorgehen wie du?

und wie erfolgt die Vorgehensweise? verfolgst du ein gewisses Schema, wie du auf
dein Ergebnis kommst?? ich kann da leider keines erkennen

28.01.2007, 23:30

piloan

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sry

28.01.2007, 23:30

piloan

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ok
mein vorgehen:

da $\begin{eqnarray*} 2^{1026} \end{eqnarray*}$ sehr schlecht auszurechnen ist smile

smile

, zerlege ich den Exponenten (Potenzgesetze)

$\begin{eqnarray*} 2^{1026}=(2^6)^{171} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2^6 =64 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 64 \equiv 4\pmod {20} \end{eqnarray*}$

darum kannst du fuer
$\begin{eqnarray*} (2^6)^{171}=64^{171}\equiv 4^{171} \end{eqnarray*}$ schreiben ...

nun wieder 171 zerlegen usw

28.01.2007, 23:32

therisen

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Naja, die ganze Arbeit hat dir piloan schon abgenommen, denn es gilt z.B. $\begin{eqnarray*} 2^{1030} \equiv 2^4 \cdot 2^{1026} \equiv 2^4 \cdot 4 \pmod {20} \end{eqnarray*}$ .

Damit ist die Aufgabe auch in vertretbarem Zeitaufwand (Klausur) zu lösen.

Gruß, therisen

28.01.2007, 23:44

Bernd1983

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ok verstehe nun so halbwegs die Zerlegung:

Bedeutet dies nun konkret für mein bsp: Ich muss dieses Schema auf alle Gleichungen anwendung und erhalte als Lösung

k=1 oder 3 oder 4 usw??

28.01.2007, 23:47

Bernd1983

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@therisen

dein Anliegen verstehe ich jetzt nicht warum mir beim einmaligen lösen die ganze Arbeit schon abgenommen wird.???

28.01.2007, 23:51

piloan

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ja du vereinfachst die Terme solange bist du irgendwann auf

$\begin{eqnarray*} a \equiv k \pmod {20} \end{eqnarray*}$ kommst .

noch ein Bsp

$\begin{eqnarray*} 7^{1026}=(7^3)^{342}\equiv 3^{342}=(3^3)^{114}=7^{114}=(7^3)^{38}\equiv3^{38}=9^{19}=9^{18}*9=(9^2)^9*9\equiv 1^9*9 \equiv 9 \pmod {20} \end{eqnarray*}$

28.01.2007, 23:52

therisen

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Zitat:

Original von Bernd1983
@therisen

dein Anliegen verstehe ich jetzt nicht warum mir beim einmaligen lösen die ganze Arbeit schon abgenommen wird.???

Du musst das Rad nicht jedesmal neu erfinden. Das geht doch aus meinem Beitrag hervor Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2007, 23:54

piloan

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naja ..
wenn du ( wie ich geloest habe ) weisst ,dass

$\begin{eqnarray*} 2^{1026}\equiv 4\pmod {20} \end{eqnarray*}$ ist ,dann kannst du doch schnell

fuers die naechste aufgabe folgern

$\begin{eqnarray*} 2^{1030}=2^{1026}*2^4 \end{eqnarray*}$ Potenzgesetz ... nun benutzt du

dein wissen der ersten teilaufgabe

$\begin{eqnarray*} 2^{1026}*2^4 \equiv 4*2^4=2^6\equiv 4 \pmod{20} \end{eqnarray*}$

29.01.2007, 00:03

Bernd1983

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ok thx. habs jetzt endlich verstanden. vielen Dank

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