nichtlineares Optimierungsproblem

09.06.2012, 17:42	Nils86	Auf diesen Beitrag antworten »
nichtlineares Optimierungsproblem Meine Frage: Habe mir versucht das Wissen in diesem Gebiet selber anzueignen, da ich mit dem Uni Material wenig bis gar nichts anfangen kann. Ist mein Lösungsweg für folgendes Optimierungsproblem $\begin{eqnarray} min f(x, y, z) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ mit der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} h(x, y, z) = x y * z - 1 = 0 \end{eqnarray}$ korrekt bzw. habe ich den Weg soweit verstanden? Meine Ideen:* Ich bilde die erste partielle Ableitung und erhalte (ich bitte um Entschuldigung für die Verwendung von f'(x, y, z) und h'(x, y, z)) $\begin{eqnarray} f'(x, y, z) = (-\frac{1}{x^2}, -\frac{1}{y^2}, -\frac{1}{z^2})^T \\<br /> h'(x, y, z) = (y z, x * z, x * y)^T \end{eqnarray}$ Als notwendige Bedingung erhalte ich demnach also $\begin{eqnarray} (-\frac{1}{x^2}, -\frac{1}{y^2}, -\frac{1}{z^2})^T = \lambda * (y * z, x * z, x * y)^T \end{eqnarray}$ Diese Bedingung wird nur durch (1, 1, 1, -1)^T erfüllt. (-1, -1, -1, -1)^T würde zwar auch f'(x, y, z) = lambda h'(x, y, z) erfüllen steht jedoch im Widerspruch zu h(x, y, z) = 0. Nun bilde ich die Hessematrix durch die zweite partielle Ableitung und erhalte. $\begin{eqnarray} f''(x, y, z) = \begin{pmatrix} \frac{1}{x^3} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{y^3} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{z^3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} h''(x, y, z) = \begin{pmatrix} 0 & z & y \\ z & 0 & y \\ y & x & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Durch f''(x, y, z) + lambda * h''(x, y, z) und einsetzen von x, y und z erhalten wir $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \frac{1}{x^3} & z & y \\ z & \frac{1}{y^3} & y \\ y & x & \frac{1}{z^3} \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bis zu diesem Punkt bin ich mir des Lösungsweges eigentlich noch relativ sicher, bedeutet jedoch nicht, dass ich keinerlei Rechenfehler gemacht habe. Nun muss ich den Vektor, welcher den Tangentialraum von x * y * z -1 = 0 im Punkt (1, 1, 1) aufspannt ermitteln. Ist dies so weit korrekt? Bei > 1 Bedingung wäre es das orthogonale Komplement. Wie sieht es jedoch bei einer aus. Ich würde spontan sagen, dass der Tangentialraum am Punkt von (1, 1, 1) durch (1, 1, -1) aufgespannt wird. Doch ohne einen Grund ist diese Aussage ja eigentlich nicht zu gebrauchen. Ob (1, 1, -1) jetzt korrekt ist oder nicht lasse ich mal dahin gestellt sein. Dieser Vektor wird nun mit der Hessematrix wie folgt multipliziert. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 & 1 & -1\end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} = 1 > 0 \end{eqnarray*}$ Somit hat f(x, y, z) unter der Nebenbedingung h(x, y, z) im Punkt (1, 1, 1) ein lokales Minimum.
10.06.2012, 15:06	Nils86	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nichtlineares Optimierungsproblem Neuer Tag, neues Glück. Und wenn ich mir meinen Beitrag anschaue frage ich mich "Was zum Teufel hab' ich da gemacht?!" Die Ableitung von $\begin{eqnarray} -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ ist natürlich $\begin{eqnarray} \frac{2}{x^3} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^3} \end{eqnarray}$ . Somit entsteht natürlich das Ergebnis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Vektorproblem hat sich hoffentlich auch erledigt. $\begin{eqnarray} \nabla h(1, 1, 1) = (1, 1, 1) \Rightarrow (1, 1, 1) d = 0 \end{eqnarray}$ wird von z.B. $\begin{eqnarray} (t, t, -2 * t), (t, -2 * t, t) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (-2 * t, t, t) \end{eqnarray*}$ erfüllt. Womit das Ergebnis dann 6 ist. Da 6 > 0 gilt, liegt hier ein Minimum vor. Hoffentlich habe ich das jetzt verstanden...

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