Eigenwerte gleich von Matrix mal Matrix transponiert und umgekehrt

10.06.2012, 01:11	decrux	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte gleich von Matrix mal Matrix transponiert und umgekehrt Guten Abend, ich stehe hier seit ein paar Stunden auf dem Schlauch. Es geht um folgendes. Ich soll zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray} X^TX = A \end{eqnarray}$ hat die gleichen(positiven) Eigenwerte wie $\begin{eqnarray} XX^T = B \end{eqnarray}$ . Ich habe es ausprobiert und es stimmt, zumindest für positive aber nicht für negative Eigenwerte. Ich weiß, dass beide Matrizen A und B symmetrisch positiv definit sind. Die Determinanten von beiden sind unterschiedlich, was auch mein Nichtweiterkommen mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} det(A-\lambdaE) \end{eqnarray}$ bestätigt, wobei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix ist. Auch ist $\begin{eqnarray} dim(A) != dim(B) \end{eqnarray}$ . Ich meine zu wissen, dass ähnliche Matrizen, die gleichen EIgenwerte haben, aber können 2 Matrizen mit unterschiedlichen Dimensionen überhaupt ähnlich sein? Für die quadratische Matrix $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray*}$ kann ich es zeigen durch Determinantenregeln, aber im allgemeinen Fall komm ich nicht weiter. Vielleicht hat ja einer von euch eine Idee. Gruß
10.06.2012, 01:30	decrux	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte gleich von Matrix mal Matrix transponiert und umgekehrt neue Idee: Die Spur ist die Summe der Eigenwerte und laut Wikipedia gilt: $\begin{eqnarray} Spur(AB)=Spur(BA) \end{eqnarray}$ , womit es gezeigt wäre. Einen Beweis habe ich dafür allerdings nicht und hoffe auf eine Erklärung dafür oder einen alternativen Lösungsweg. Edit 1. Beitrag: Wenn A und B symmetrisch positiv definit sind, dann sind auch die Eigenwerte alle positiv. Folglich kann das, was ich über negative Eigenwerte erzählt habe nicht stimmen. Gruß Edit: Die Argumentation mit der Spur setzt symmetrische Matrizen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X^T \end{eqnarray}$ voraus und ist somit nicht zielführend. Schade.
10.06.2012, 10:40	decrux	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid aber da editieren nicht möglich neuer Post. Die Argumentation mit der Spur haut doch hin, aber mir wäre eine andere Erklärung fast lieber. Ich schmeiß jetzt nur Worte in den Raum, aber vielleicht lässt sich irgendwie mit dem transponiert oder dem skalarprodukt oder der gram Matrix argumentieren. Gruß und guten Morgen

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