GLS mit vier Unbekannten

10.06.2012, 12:25

msc77777

GLS mit vier Unbekannten

Hallo

Ich hab hier ein GLS mit dem ich mich abkämpf.

$\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb C\\ 3|a|^2-|b|^2&=2\qquad\mathrm{(I)} |a|^2+a\overline b+\overline ab-|b|^2&=0.5\qquad\mathrm{(II)} 2i(\overline ab-a\overline b)&=0\qquad\mathrm{(III)} |a|^2+|b|^2&=1\qquad\mathrm{(IV)} \end{eqnarray*}$

Hab nun schon verschiedenste Ansätze probiert.
Zuerst hatte ich a,b und a quer, b quer als vier Variablen betrachtet und dann Gl. 1+4 addiert, dann 2+3 und dann 2+4 um da was loszuwerden. Kam aber auf wiedersprüchliche Ergebnisse.
Dann hab ich mal versucht, das GLS nach Real- und Imaginärteil von a und b umzuschrieben. Das hab ich allerdings nicht hingekriegt.
Gaussalgorithmus funktioniert hier auch nicht, da ich in der From keine Matrix finden kann, sodass A*(a,b,a quer, b quer)=irgendwas gilt.

Wie geht man da ran?

Vielen Dank für eure Hilfe

10.06.2012, 12:42

DP1996

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Versuchs mal, indem du 1. $\begin{eqnarray*} |a|^2=a\overline{a} \end{eqnarray*}$ ersetzt, 2. indem du (I)+(IV) rechnest, 3. indem du erkennst, dass in (III) mindestens ein Faktor 0 sein muss.

10.06.2012, 13:45

msc77777

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dann bekomm ich
2. |a|^2=0.5 und |b|^2=-0.5 bzw. a=1/(2 a quer) und b=-1/(2 b quer)

3. 2i kann nicht Null sein, also ist a quer*b=a*b quer

wenn ich dann 2. in III einsetze erhalte ich b=±i*a

setz ich dann diese relation in II ein erhalte ich

$\begin{eqnarray*} a\overline a\pm i\overline aa\mp i\overline aa+a\overline a=0.5\Rightarrow a=1/(4\overline a) \end{eqnarray*}$

Dies ist aber widersprüchlich zu 2.

Was mach ich falsch?

10.06.2012, 13:56

DP1996

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Zuerst mal: (I)+(IV): 3|a|²-|b|^2+|a|²+|b|²=4|a|²=3, da lag wohl dein Fehler.
Du kannst dann |a|² in (I) einsetzen und erhälst |b|^2.

Dein Resultat zur (III) war richtig. du erhälst also (III'): $\begin{eqnarray*} \overline{a}b-a\overline{b}=0 \end{eqnarray*}$

Setz dann mal die Ergebnisse für |a|² und |b|² in (II) ein und addier dann noch (III') dazu.

Damit kannst du dann 4 interessante Identitäten rausfinden.

11.06.2012, 15:45

msc77777

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au ja, da hab ich mich verrechnet...
aaalso
$\begin{eqnarray*} \mathrm{I+IV:}\qquad 4a\overline a=3\Rightarrow |a|^2=\frac{3}{4} \mathrm{in\;I:}\qquad\frac{9}{4}-|b|^2=2\Rightarrow |b|^2=\frac{1}{4} \mathrm{in\;II:}\qquad\frac{3}{4}-\frac{1}{4}+a\overline b+\overline ab=\frac{1}{2}\Rightarrow a\overline b+\overline ab=0 \mathrm{II+III':}\qquad 2\overline ab=0 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die vier Relationen

$\begin{eqnarray*} |a|^2&=\frac{3}{4} |b|^2&=\frac{1}{4} \overline ab&=0 a\overline b&=0 \end{eqnarray*}$

Das sieht doch schon mal schön aus.
Dann sei $\begin{eqnarray*} a:=a_1+ia_2,\qquad b:=b_1+ib_2 \end{eqnarray*}$ .
Also

$\begin{eqnarray*} a_1^2+a_2^2&=\frac{3}{4}\qquad\mathrm{(V)} b_1^2+b_2^2&=\frac{1}{4} a_1b_1+ia_1b_2-ia_2b_1+a_2b_2&=0 a_1b_1-ia_1b_2+ia_2b_1+a_2b_2&=0 \end{eqnarray*}$

Dann zähle ich die letzten zwei zusammen. Dies ergibt

$\begin{eqnarray*} a_1b_1+a_2b_2=0\qquad\mathrm{(VII)} \end{eqnarray*}$

Dann kann ich das nach a_1 auflösen und bekomme dann mit einsetzen in (V)

$\begin{eqnarray*} a_1^2=\frac{3}{4}\cdot\frac{b_2^2}{b_2^2+b_1^2} a_2^2=\frac{3}{4}\cdot\frac{b_1^2}{b_2^2+b_1^2} \end{eqnarray*}$

Dann hab ich das in (VII) eingesetzt und bekomme

$\begin{eqnarray*} 2b_1b_2=0 \end{eqnarray*}$

dann gibts zwei Fälle:
1.) b_1=0, dann b=0.5i, a=sqrt(3)/2
dies widerspricht aber III
2.) b_2=0, dann b=0.5, a=i*sqrt(3)/2
dies widerspricht aber auch III

Hab ich mich etwa wieder verrechnet?

11.06.2012, 18:50

DP1996

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Zitat:

Original von msc77777
Hab ich mich etwa wieder verrechnet?

Weiß ich nicht, aber keine Lösung ist schonmal ne gute Lösung. Auf jeden Fall stimmts bis (VII) und ab da müsstest du noch ausscließen, dass die Variablen, durch die du teilst, ungleich 0 sind, das läuft dann wohl auf mehrere Fallunterscheidungen hinaus. Mir schwebte eigentlich ein wesentlich kürzerer Gedankengang vor:

Zitat:

Original von msc77777
Dann habe ich die vier Relationen

$\begin{eqnarray*} |a|^2&=\frac{3}{4} |b|^2&=\frac{1}{4} \overline ab&=0 a\overline b&=0 \end{eqnarray*}$

Das sieht doch schon mal schön aus.

Eben. Nun wendest du den Satz vom Nullprodukt auf die unteren beiden Gleichungen an. Und befolgst außerdem den ersten Hinweis in meinem ersten Beitrag hier. Dann bist du fast sofort (und recht elegant) fertig.

11.06.2012, 20:23

msc77777

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ja stimmt, eigentlich sieht mans ja direkt an den vier Relationen, dass es ein solches a und b nicht geben kann.

Find ich aber sehr merkwürdig, da ich dieses GLS aufgestellt habe anhand dreier gegebenen Erwartungswerte und einer Normierungsbedingung um den gesuchten Zustand zu berechnen. So wie die Aufgabenstellung ist, dürfte man allerdings davon ausgehen, dass dieser Zustand existiert. Dann wird da schon was nicht gestimmt haben.

ich hatte die drei Erwartungswerte <A>=2, =1/2, <C>=0 mit den dazugehörigen Operatoren

$\begin{eqnarray*} A&=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix} B&=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} C&=\begin{pmatrix}0&2i\\-2i&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine vollständige Orthonormalbasis eines Systems werde aus den beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ gebildet. Der Raum dürfte ein Hilbertraum sein. Dann lässt sich ein Zustand Psi darstellen als $\begin{eqnarray*} \Psi=a\varphi_1+b\varphi_2 \end{eqnarray*}$ d.h. mit dem Koeffizientenvektor (a,b).

So, dann hab ich mir den Dichteoperator rho ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \rho=|\Psi><\Psi|=\begin{pmatrix}a\overline a&a\overline b\\\overline ab&b\overline b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann lassen sich die Erwartungswerte ausrechnen mit

$\begin{eqnarray*} <A>=<\Psi|A|\Psi>=<\Psi|A\cdot I|\Psi>=\sum_k<\Psi|A|\varphi_k><\varphi_k|\Psi> =\sum_k<\varphi_k|(|\Psi><\Psi|A)|\varphi_k>=\sum_k<\varphi_k|(\rho\cdot A)|\varphi_k> =\mathrm{tr}(\rho\cdot A) \end{eqnarray*}$

Rechnet man diese Spur nun aus für A, B und C, bekommt man mit der Normierungsbedindingung für den Vektor (a,b), d.h. |(a,b)|=1, dieses GLS.

Ist hier irgendwo ein Überlegungsfehler?

12.06.2012, 21:07

msc77777

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meine Kommilitonen haben auch raus, dass keine Lösung existiert für den beschriebenen Zustand. Dann wird schon alles stimmen so.

Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.

Viele Grüsse
m

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