3x kongruent 0 mod 6 => x kongruent 0 mod 2 ?

10.06.2012, 13:42

J.R.

3x kongruent 0 mod 6 => x kongruent 0 mod 2 ?

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich des Bestimmens einer Inversen beim Kongruenzrechen. Es liegt foldendes Beispiel vor:

3x kongruent 0 mod 6 => x kongruent 0 mod 2

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass x kongruent 2 mod 6 gilt, aber wie kommt man denn zu 0 mod 2? Man kann sich ja leicht überlegen, dass man für x auch 0 einsetzen kann, da 3*0=0 kongruent 0 mod 6 ist, aber dann müsste ich die 6 ja noch durch 3 teilen um zu 0 mod 2 zu kommen....

Lg

10.06.2012, 13:53

DHD

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Hallo,

Zitat:

Bestimmens einer Inversen beim Kongruenzrechen

Das ist nicht das was du hier tust. 3 ist modulo 6 nicht multiplikativ invertierbar.

Zitat:

Mir ist klar, dass x kongruent 2 mod 6 gilt

Das ist aber falsch. wie sieht es denn z.B. mit x= 4 aus.

Vorschlag:
Schreib dir $\begin{eqnarray*} 3x\equiv 0 \mod 6 \end{eqnarray*}$ mit der ursprunglichen Def. des Modulo-Rechnens auf.
(Das Ganze ist Teil einer allgemeineren Rechenregel: $\begin{eqnarray*} ax\equiv b \mod c \Rightarrow \frac{a}{ggT(a,b,c)}x \equiv \frac{b}{ggT(a,b,c)} \mod \frac{c}{ggT(a,b,c)} \end{eqnarray*}$ )

10.06.2012, 14:44

J.R.

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Hallo,
von x als der zu a Inversen spricht man nur wenn ax kongruent 1 mod b vorliegt? Und dann auch ggt(a,b)=1 gilt?

Warum ist x kongruent 2 mod 6 falsch? Man kann doch x=2 kongruent 2 mod 6 setzen, da 6*0+2=2. Dann folgt weiter 3*2=6 kongruent 0 mod 6 da 6:6 den Rest 0 lässt. Oder ist in dieser Rechnung ein Denkfehler?

Weiter ist x=4 eine weitere Lösung, da 3*4=12 kongruent 0 mod 6, da 12=2*6+0.

Wenn ich 3x kongruent 0 mod 6 mit der Modulo-Definition aufschreibe, erhalte ich: 3x mod 6 = 0 mod 6, d.h. 3x:6 und 0:6=0 haben denselben Rest, in dem Fall wäre das 0, also müsste auch x=0 sein.

Lg

10.06.2012, 14:52

DHD

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Zitat:

Warum ist x kongruent 2 mod 6 falsch? Man kann doch x=2 kongruent 2 mod 6 setzen, da 6*0+2=2. Dann folgt weiter 3*2=6 kongruent 0 mod 6 da 6:6 den Rest 0 lässt. Oder ist in dieser Rechnung ein Denkfehler? Weiter ist x=4 eine weitere Lösung, da 3*4=12 kongruent 0 mod 6, da 12=2*6+0.

Es ist falsch weil aus $\begin{eqnarray*} 3x \equiv 0 \mod 6 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} x \equiv 2 \mod 6 \end{eqnarray*}$ folgt. Deshalb auch des Gegenbeispiel 4.

Zitat:

Wenn ich 3x kongruent 0 mod 6 mit der Modulo-Definition aufschreibe, erhalte ich: 3x mod 6 = 0 mod 6, d.h. 3x:6 und 0:6=0 haben denselben Rest, in dem Fall wäre das 0, also müsste auch x=0 sein.

Eine saubere Def. des Modulo-Rechnens verwendet kein geteilt.
Wie habt ihr es denn genau definiert?

12.06.2012, 15:33

J.R.

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Modulo haben wir durch Teilung mit Rest definiert:
3x kongr. 0 mod 6 => 3x mod 6= 0 mod 6 => n*6 + 3x = a = m*6 +0 für m und n ganze Zahlen
=> 3x = (m-n)*6 => x = (m-n)*2 also gilt: x kongr. 0 mod 2

Ok, das leuchtet mir ein smile

12.06.2012, 15:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von DHD
(Das Ganze ist Teil einer allgemeineren Rechenregel: $\begin{eqnarray*} ax\equiv b \mod c \Rightarrow \frac{a}{ggT(a,b,c)}x \equiv \frac{b}{ggT(a,b,c)} \mod \frac{c}{ggT(a,b,c)} \end{eqnarray*}$ )

Das ganze lässt sich dahingehend präzisieren:

$\begin{eqnarray*} ax\equiv b \bmod c \end{eqnarray*}$ ist genau dann lösbar, wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(a,c) \end{eqnarray*}$ die Zahl $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ teilt. In dem Fall erfüllen die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die eindeutig lösbare Kongruenz

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{ggT(a,c)}x \equiv \frac{b}{ggT(a,c)} \bmod \frac{c}{ggT(a,c)} \end{eqnarray*}$ .

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