Extremwertaufgabe - Optimale Dose

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MelanieP. Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe - Optimale Dose
Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, die bereits gerechnet wurde, aber ich verstehe nicht, wie sie darauf kommen.

Wir sollten eine Dose berechnen, mit dem minimalsten Materialverbrauch. Also, ob die Dose die optimale Größe hat.

Die Dose hat einen Volumen von 425 ml, einen Radius von 4,25 cm und eine Höhe von 8,2 cm.

V = r^2 * pi * h = 425 --> h= 425/r^2 * pi
Mantel: 2 * r * pi * h
Oberfläche: 2 * pi * r *(r + h)

A (r) = 2*pi*r* ( r + 425/ r^2 *pi) = 2*pi*r^2 + 2*pi*r*425/r^2 * pi
A (r) = 2*pi*r^2+ 850/r

So, das verstehe ich nicht so ganz. Wie kommen die darauf? Die haben für h 425/r^2*pi eingesetzt. Aber wie kommen die dann auf 2*pi*r^2 + 2*pi*r*425/r^2 * pi ?

Dann geht es weiter:

V= pi*r^2*h --> h= V/pi*r^2 = 425/pi*r^2
Einsetzen in Zielfunktion --> Welche Zielfunktion?
A'(r)= 4*r*pi = 850/r^2 = 0

Wie kommen die hier auf 4?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So, das verstehe ich nicht so ganz. Wie kommen die darauf? Die haben für h 425/r^2*pi eingesetzt. Aber wie kommen die dann auf 2*pi*r^2 + 2*pi*r*425/r^2 * pi ?


Durch ausmultiplizieren.

Zitat:
Welche Zielfunktion?


A(r)

Zitat:
Wie kommen die hier auf 4?


Durch ableiten nach r (Potenzregel).
MelanieP. Auf diesen Beitrag antworten »

Achso. Jetzt wird es mir auch klarer.

Vielen Dank :-)
MelanieP. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Frage. Da steht ich soll die Nebenbedingung in die Zielfunktion einsetzen, aber in der Zielfunktion ist doch gar kein h?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

So würde ich das nicht formulieren.
Die Nebenbedingung (Volumengleichung) wird mit der Hauptbedingung (Oberflächengleichung) verknüpft und das führt dann letztendlich zur nur noch von einer Unbekannten abhängigen Zielfunktion.
MelanieP. Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das verstehe ich nicht. Wie sieht denn die Verknüpfung dann aus?
 
 
MelanieP Auf diesen Beitrag antworten »

Kann keiner helfen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte das schon gelesen gehabt, aber das Wort "Verknüpfung" war ja jetzt eher der unwichtige Teil in meinem Beitrag.
Ich hätte auch konkreter "einsetzen" schreiben können.
MelanieP Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist dann die zielfunktion 2*pi*r^2+ 850/r + ( r + h) ?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Zielfunktion ist steht oben bereits.
MelanieP. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber da ist doch kein h. Wie soll ich denn das einsetzen?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zielfunktion ist die Oberfläche des Zylinders. Sie lautet: O = 2*pi*r*(r + h)

Einfacher ist es, wenn man ausmultipliziert: O = 2*pi*r² + 2*pi*r*h

Dann siehst du auch das h, für das du 425/r²*pi einsetzen kannst.

smile
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