Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis

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Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Meine Frage:
Hallo,



ich mache gerade einen Eignungstest Mathe, alles gelang gut und war für mich nachvollziehbar. Bis auf folgenden Beweis:

Zunächst wurde vom arithmetischen Mittel ausgegangen für n=4

Dies sieht folgendermaßen aus:







Hier wurde gefragt welche Ungleichung man erhält wenn man die Formel für n=2 zweimal anwendet. Bereits hier bin ich mir nicht sicher was gemeint ist. Formel für n=2? Der Beweis wurde vorher für n=2 geführt. Dabei hat man quadriert und umgeformt. Ich nehme an, dass hier das selbe gemeint ist.


Gemäß dieser Formel müsste dann herauskommen:



Die Aufgabe geht dann noch weiter, aber wenn ich diesen Schritt einmal verstanden hätte, könnte ich denke ich auch den Rest lösen.











Meine Ideen:
Ich denke man muss eine Ungleichung aufstellen.

Airthmetisches Mittel >= Geometrisches Mittel. Diese dann 2 mal quadrieren und umformen. Aber so komme ich nicht zum richtigen Ergebnis.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Es wurde offenbar vorher bewiesen:



Jetzt kannst du das auf anwenden. Anschließend setzt du



und wendest obiges Gesetz wieder auf die beiden Ausdrücke an. Was bekommst du dann ingesamt heraus?
 
 
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Jap, Danke! Genau so


Naja. Ich kann nun alles nachvollziehen. Am Ende der Überlegung steht dann folgendes:




Hieraus wurde nun gefolgert, dass das arithmetische Mittel größer oder gleich dem geometrischen ist. Wie das?


Auch hier bin ich für jede Hilfe dankbar smile
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Da ist nun nichts mehr zu folgern. Ganz links steht doch das arithmetische Mittel und ganz rechts das geometrische Mittel von .
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Da ist nun nichts mehr zu folgern. Ganz links steht doch das arithmetische Mittel und ganz rechts das geometrische Mittel von .


Naja, es ging doch darum zu beweisen, dass das arithmetische Mittel stets größer als das geometrische ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Stets größer ist es nicht. Manchmal sind sie auch gleich, nämlich dann, wenn alle gleich sind. Und oben steht doch ein zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel.

Oder fragst du nach einem Beweis für



für beliebige natürliche Zahlen n? Der folgt natürlich nicht unmittelbar aus obigem Verdoppelungsschema. Das ergibt ihn nur für mit natürlichen Zahlen m. Für beliebiges n braucht es einen zusätzlichen Trick. Ich weiß natürlich nicht, was ihr konkret in dem Eignungstest gemacht habt.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Stets größer ist es nicht. Manchmal sind sie auch gleich, nämlich dann, wenn alle gleich sind. Und oben steht doch ein zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel.

Oder fragst du nach einem Beweis für



für beliebige natürliche Zahlen n? Der folgt natürlich nicht unmittelbar aus obigem Verdoppelungsschema. Das ergibt ihn nur für mit natürlichen Zahlen m. Für beliebiges n braucht es einen zusätzlichen Trick. Ich weiß natürlich nicht, was ihr konkret in dem Eignungstest gemacht habt.




Hi, nein um das geht es nicht! Also mir ist jetzt klar, wie man diese Formen der Terme bekommt. Was mir aber nicht klar ist, ist wie man eigentlich zu dieser Ungleichung kommt? Ich meine, man kann ja nicht einfach irgendwo ein größer gleich Zeichen hinschreiben?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Es wäre hilfreich, wenn du deine Frage präzise stellen würdest, damit ich nicht dauernd herumrate, was du meinst! Geht es dir um den Beweis der Ausganggleichung



mit der ihr anscheinend angefangen habt?
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Es wäre hilfreich, wenn du deine Frage präzise stellen würdest, damit ich nicht dauernd herumrate, was du meinst! Geht es dir um den Beweis der Ausganggleichung



mit der ihr anscheinend angefangen habt?




Sorry, dieser Test war online und leider kann man die Schritte nicht "rückgängig machen". Es geht mir um folgendes. Also ich nehme den ersten Beweis mal als gegeben.

Aber wie kommt man auf folgendes Ergebnis:




Bzw. was sagt es denn aus? Dies ist doch nur eine umgeformte Form von arithmetischen und geometrischem Mittel.

Dazu würde ich gerne wissen

Warum darf man dort ein Ungleichungszeichen hinschreiben? In der Aufgabe wurde lediglich angenommen, das es vermutlich so sein muss. Und das soll ja eigentlich bewiesen werden, also dass es eine Ungleichung ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof!!!

Ich habe dir oben einen Tipp gegeben, wie man von der Ausgangsungleichung auf dieses Ergebnis kommt. Und du hast geantwortet, jetzt kannst du das nachvollziehen. War das frech gelogen?

Und das Ergebnis ist einfach die Ungleichung zwischen den beiden Mitteln für den Spezialfall von 4 Zahlen.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof!!!

Ich habe dir oben einen Tipp gegeben, wie man von der Ausgangsungleichung auf dieses Ergebnis kommt. Und du hast geantwortet, jetzt kannst du das nachvollziehen. War das frech gelogen?

Und das Ergebnis ist einfach die Ungleichung zwischen den beiden Mitteln für den Spezialfall von 4 Zahlen.




Achso, du gehst also davon aus, dass die Ausgangsungleichung sicher bewiesen ist und dass man dann den Fall für n=4 genauso einsetzen kann?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Davon gehe ich aus.
Selbstverständlich muss die Ausgangsungleichung vorher tatsächlich bewiesen sein. Und ob du mit deren Beweis ein Problem hast, habe ich auch schon mal gefragt, leider ohne richtige Antwort von dir.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Davon gehe ich aus.
Selbstverständlich muss die Ausgangsungleichung vorher tatsächlich bewiesen sein. Und ob du mit deren Beweis ein Problem hast, habe ich auch schon mal gefragt, leider ohne richtige Antwort von dir.




Sorry, ich bin selber ziemlich verwirrt. Diese Aufgabe war relativ unübersichtlich gestaltet. Naja, aber wenn wir nunmal die Ausgangsgleichung als wahr betrachten. Was nutzt nun das Umformen der Form von n=4? Welche Information gewinnen wir dadurch?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Ursprünglich hast nur gewusst, dass die Ungleichung für 2 Zahlen gilt. Jetzt weißt du, dass sie auch für 4 Zahlen gilt.

Ob dir persönlich dieser Erkenntniszuwachs wichtig erscheint, kann ich nicht beurteilen. Es ist tatsächlich nur ein bescheidener Schritt. Aber wenn man mit solchen Schritten fortfährt, kann man zu einem allgemeinen Beweis für n Zahlen kommen.
So funktioniert Mathematik. Man macht einen Haufeen kleiner Schritte und hat am Ende ein wichtiges Ergebnis. Die allgemeine Ungleichung zwischen den beiden Mitteln ist ein wichtiges Ergebnis.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Ursprünglich hast nur gewusst, dass die Ungleichung für 2 Zahlen gilt. Jetzt weißt du, dass sie auch für 4 Zahlen gilt.

Ob dir persönlich dieser Erkenntniszuwachs wichtig erscheint, kann ich nicht beurteilen. Es ist tatsächlich nur ein bescheidener Schritt. Aber wenn man mit solchen Schritten fortfährt, kann man zu einem allgemeinen Beweis für n Zahlen kommen.
So funktioniert Mathematik. Man macht einen Haufeen kleiner Schritte und hat am Ende ein wichtiges Ergebnis. Die allgemeine Ungleichung zwischen den beiden Mitteln ist ein wichtiges Ergebnis.




Ja, mir ist klar das dies wichtig ist. Ich weiß nur nicht was die Aufwändige Umformung zu




soll.


Könnte man nicht genauso gut das arithmetische Mittel links und das geometrische Mittel rechts der Gleichung hinschreiben? Es muss doch einen bestimmen Zweck erfüllt haben, diese Umforung. Sorry wenn ich mich gerade anstelle, ich stehe hier irgendwie auf dem Schlauch :/
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Daniel1
Könnte man nicht genauso gut das arithmetische Mittel links und das geometrische Mittel rechts der Gleichung hinschreiben? Es muss doch einen bestimmen Zweck erfüllt haben, diese Umforung. Sorry wenn ich mich gerade anstelle, ich stehe hier irgendwie auf dem Schlauch :/

Ich stehe auch immer mehr auf dem Schlauch!!! unglücklich

Du kannst die Ungleichung doch nicht einfach für 4 Zahlen hinschreiben und sagen, das wird schon stimmen. Du musst beweisen, dass es stimmt. Und diese Umformung ist der Beweis! Mittels der Ungleichung für 2 Zahlen hast du sie für 4 Zahlen bewiesen.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von Daniel1
Könnte man nicht genauso gut das arithmetische Mittel links und das geometrische Mittel rechts der Gleichung hinschreiben? Es muss doch einen bestimmen Zweck erfüllt haben, diese Umforung. Sorry wenn ich mich gerade anstelle, ich stehe hier irgendwie auf dem Schlauch :/

Ich stehe auch immer mehr auf dem Schlauch!!! unglücklich

Du kannst die Ungleichung doch nicht einfach für 4 Zahlen hinschreiben und sagen, das wird schon stimmen. Du musst beweisen, dass es stimmt. Und diese Umformung ist der Beweis! Mittels der Ungleichung für 2 Zahlen hast du sie für 4 Zahlen bewiesen.



Achso, man darf diese Annahme einfach so aufstellen?




Diese einsetzen und umformen und dies gilt dann als korrekter Beweis?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Wenn du Zahlen hast, kannst daraus doch die Zahlen nach dieser Vorschrift bilden. Das sind doch erlaubte Rechenoperationen. Und jetzt kannst du fragen, was kann ich für aus der Ausgangsungleichung schließen?
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Wenn du Zahlen hast, kannst daraus doch die Zahlen nach dieser Vorschrift bilden. Das sind doch erlaubte Rechenoperationen. Und jetzt kannst du fragen, was kann ich für aus der Ausgangsungleichung schließen?




Achso, dann könnte man also folgendermaßen argumentieren:






in




bzw




Und nachdem dies so eingesetzt wird formt man um, sehe ich es nun richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Ja.
Daniel1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Arithmetisches und Geometrisches Mittel, Beweis
Zitat:
Original von Huggy
Ja.




Danke!
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