Extremwertaufgabe Kegelstumpf

10.06.2012, 14:12

MarioK

Extremwertaufgabe Kegelstumpf

Hallo, stehe grade vor einem Problem:

Das Beispiel ist eine Extremwertaufgabe, wie der Titel vermuten lässt. Bei dieser soll in einen Kegelstumpf bei dem die Spitze abgeschnitten wurde, ein Zylinder eingeschrieben werden, der das maximale Volumen haben soll und man den Radius x, sowie die Höhe h des Zylinders berechnen soll. Gegeben sind h, R, und r von dem Kegel, wobei R der Radius unten ist und r der Radius oben, an der abgeschnittenen spitze.

Hauptbedingung wäre also Volumen des Zylinders soll maximal werden und bei der Nebenbedingung hänge ich.
Ich glaube, dass die irgendein Verhätnis sein muss. Ich dachte da an

h : R-r = h : x

Ist dieser Ansatz korrekt, oder ist die Nebenbedingung eine andere. Denn wenn diese stimmt, muss der Fehler wohl irgendwo in der Rechnung liegen, wobei ich in der eigentlich nach mehrmaligem durchrechnen, keinen entdecken konnte^^

Vielen Dank bereits im Voraus! =)

10.06.2012, 14:27

Falke

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Ich weiß nicht so genau was du mit deiner Nebenbedingung ausdrücken möchtest.
Ich würde für die Seitenlänge s eine Geradengleichung aufstellen, dann hängt der Radius und die Höhe des Zylinders nur noch von einer Variablen ab.

10.06.2012, 15:51

MarioK

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hab mich bei meiner Nebenbedingung verschrieben, meinte:

h : R-r = y : r

Wobei auch das nichts sinnvolles ist xD

Also eine Geradengleichung für s?... Aber ich verstehe nicht, wie ich mir da eine Geradengleichung aufstellen soll... oder was mir das bringen könnte, sorry =/

10.06.2012, 22:52

MarioK

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Hm... weiß hier keiner wie das geht? Kann ich mir nicht vorstellen bei euch Experten hier Augenzwinkern

Ich weiß leider echt nicht, wie ich dieses Beispiel hier lösen sollte, bzw. lösen könnte...
Und wie ich hier eine Geradengleichung aufstellen soll, verstehe ich auch nicht. Bei der Geradengleichung wäre es ja: y = y/x * x + 0 und wenn man dann kürzt ist y = y

Oder habe ich da einen Fehler, oder geht es sowieso ganz anders? verwirrt

Ich weiß einfach nicht, wie ich hier auf eine sinnvolle Nebenbedingung komme traurig

11.06.2012, 08:29

sulo

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Vielleicht hilft dir die Zeichnung, um die NB zu finden:

[attach]24902[/attach]

Ich bin leider wohl erst später heute Abend wieder hier, deswegen darf gerne jeder andere auch weiterhelfen.

smile

11.06.2012, 10:26

Kedor_Laomer

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Ich würde eine Fallunterscheidung vorschlagen. Denn entweder spielt es eine Rolle, wo der Kegel abgeschnitten wurde, oder du kannst auch mit dem normalen Kegel rechnen. Und im ersten Fall währe der Zylinder mit maximalem Volumen genauso hoch wie der Kegelstumpf.

11.06.2012, 17:03

MarioK

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Häää? Also ich blick bei dem Beispiel nicht durch^^
Wenn ich mir die Skizze anschaue, sieht es so aus, als ob du die zwei Dreicke markiert hättest, was für mich heißt, dass quasi der Ansatz mit dem Verhältnis dieser Dreicke korrekt wäre. Aber anstatt eine Variable auszuschalten, kommen nur noch mehr Variablen hinzu^^

Und an die Fallunterscheidung habe ich auch bereits gedacht, aber da, wie du bereits gesagt hast, dass die Höhe des Zylinders gleich der Höhe des Kegelstumpfes wäre, was wohl zu einfach wäre, da dann der Radius auch r entsprechen würde =P

Also bitte ich darum, dass mir hier jemand den Ansatz der Nebenbedingung aufschreibt, denn wenn ich y : R-x = h : x-r schreibe, dann kommt für y gleich h(R-x)/(x-r) raus, was bloß noch mehr Variablen enthält verwirrt

11.06.2012, 18:15

Kedor_Laomer

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nehmen wir an, es währe ein Kegel, dann währe die Gleichung für die Höhe in Abhängigkeit vom Radius :
$\begin{eqnarray*} y=h-x*h/r \end{eqnarray*}$

jetzt musst du nur noch für "h" die Formel für die Höhe deines ganzen Kegels einsetzen.

wie drückst du die Höhe aus, die der Kegel hätte, wenn er nicht abgeschnitten worden währe?

11.06.2012, 21:37

sulo

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@Kedor_Laomer
Warum willst du unbedingt auf einen ganzen Kegel hinaus? Man kann genauso gut mit dem Kegelstumpf rechnen und schließlich ist dieser ja auch vorgegeben, ebenso wie die Größen R, r und h. Augenzwinkern

@MarioK
Ich habe meiner Zeichnung mal ein anderes Dreieck hinzugefügt, ich denke, es ist einfacher, damit zu arbeiten.
[attach]24907[/attach]
Setze das gelbe Dreieck mit dem lila Dreieck ins Verhältnis.
Du kannst eine Gleichung auf stellen, auf die du vermutlich eingangs auch schon hinaus wolltest, sie war allerdings nicht ganz richtig.

Du kannst mit r, R, h, x und y arbeiten.

smile

12.06.2012, 06:51

Kedor_Laomer

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Zitat:

Original von sulo
@Kedor_Laomer
Warum willst du unbedingt auf einen ganzen Kegel hinaus? Man kann genauso gut mit dem Kegelstumpf rechnen und schließlich ist dieser ja auch vorgegeben, ebenso wie die Größen R, r und h. Augenzwinkern

...

weiß nicht, ich finds anschaulicher. Wobei es mit einer Formel nur für den Kegelstumpf ja genauso geht. Überlassen wir es MarioK, was er am angenehmsten empfindet.
Hm, aber ich schätze mal, dass sich dein Ansatz ein wenig leichter ableiten lässt. Freude

12.06.2012, 22:37

MarioK

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Sorry, aber ich komm bei dem Beispiel auf keinen grünen Zwei unglücklich

Meine Nebenbedingung wäre jetzt y : (r-x) = h : (R-r)
Wenn das stimmt, ist y = h(R-x)/(R-r)
Wenn ich das dann in die Hauptbedingung einsetzte kommt:
$\begin{eqnarray*} x²\pi \frac{h(R-x)}{(R-r)} \end{eqnarray*}$

Dann differenziert:
$\begin{eqnarray*} 2x\pi \frac{h(R-1)}{(R-r)} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann weiterrechne ist h = 2xhR * Pi... was nicht sein kann böse

Ach Gott... das Beispiel macht mich langsam psychisch fertig Hammer

13.06.2012, 08:15

Kedor_Laomer

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Die Nebenbedingung sieht doch ganz gut aus! Freude

... die Formel auch!

Bei der Ableitung hängt es allerdings.

Ziehe erst alle konstanten Faktoren vor die Formel und dann:
Denk an die Produktregel!

13.06.2012, 08:57

sulo

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Noch leichter wird das Ableiten, wenn du eine Differenz bildest.

Wenn du dann die Variable (x) jeweils noch vor den Bruch packst, wird das Ableiten vollkommen problemlos.
edit: Da du bei der Ableitung eh die Differenz bilden musst um x zu bestimmen, kannst du diesen Schritt auch schon vorher machen. Augenzwinkern

btw: Es ist immer besser, die vollständige Funktionsgleichung und nicht nur die reche Seite aufzuschreiben.

smile

13.06.2012, 20:23

MarioK

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Ahh, dann scheitert es also bloß an meinen Ableitekünsten xD

Also ich hab jetzt das x reinmultipliziert und bekomm dann R = 3/2 x², was eindeutig plausibler erscheint^^

Ich rechne jetzt mal damit weiter und schau, was dann rauskommt, aber ich hab keine Ahnung, wie ich die Produktregel hier anwende... wir haben die nur kurz am Anfang einmal durchgemacht, mit 2 ganz einfachen Beispielen und dann nicht mehr. Wäre toll, wenn mir hier kurz jemand vorrechnen könnte, wie ich die Produktregel hier anwende... Freude

13.06.2012, 20:46

MarioK

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Also ich hab jetzt die durch die Nebenbedingung noch x ausgerechnet und dabei ist mir wieder ein hässliches Ergebnis rausgekommen, bei dem ich glaube, dass es falsch ist:

$\begin{eqnarray*} x = R - \frac{y(R-r)}{h} \end{eqnarray*}$

hab das dann quadriert, weil ja die Volumsformel y²*Pi*y ist

Vor dem differenzieren hatte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \pi y (R² - 2R\frac{y(R-r)}{h} + \frac{y²(R-r)²)}{h} ) \end{eqnarray*}$

Und dann danach:

$\begin{eqnarray*} \pi (R² - 2R\frac{R-r}{h} + \frac{2y(R-r)²}{h}) \end{eqnarray*}$

Endergebnis:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{2R}{3} \pi (-\frac{R²h}{2(R-r)²} + 2R² + 2Rr \end{eqnarray*}$

13.06.2012, 20:55

sulo

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Du sitzt seit Tagen an der Aufgabe und ich habe das Gefühl, dass du keine Ahnung hast, was du da eigentlich machst. Könnte das stimmen?

Du hast doch schon sehr schön die HB aufgestellt: $\begin{eqnarray*} V(x) =x²\pi \frac{h(R-x)}{(R-r)} \end{eqnarray*}$ Freude

Warum ersetzt du das x jetzt auf einmal durch y? verwirrt

Die neue Funktionsgleichung ist dadurch unnötig verkompliziert geworden. Ich habe übrigens weder sie noch die Ableitung auf Richtigkeit überprüft.

13.06.2012, 21:25

MarioK

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Ja das könnte stimmen xD

Naja, ich hab ja jetzt dann noch die Variable x in der Lösung drin, die muss doch auch noch raus, hab ja nur R, r und h gegeben...

Oder hab ich da einen Denkfehler drin?... Normalerweise weiß ich zumindest, was ich rechnen soll, aber bei dem Beispiel hier ist glaub ich mein Hirn auf Urlaub verwirrt

edit: Ich glaube du kannst auch grad nicht nachvollziehen, was ich gemacht habe... ich habe jetzt die Nebenbedingung nocheinmal so umgeändert, dass statt y=, x= rauskommt, sodass ich in die Hauptbedingung x auch noch einsetzen kann und somit keine Variable mehr drin ist. Sodass dann das Ergebnis nicht V = 2r/3 * y ist, sondern auch das y noch weg ist im Endergebnis...

13.06.2012, 21:32

sulo

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Du bestimmst die Variable x doch durch das Ableiten.

Es war ja so, dass du 2 Variablen hattest (x und y), du hast das y mit Hilfe der NB ersetzt.
Deine HB hat nur eine Variable, sie wird bestimmt.

Ich würde so vorgehen:

$\begin{eqnarray*} V(x) =x²\pi \cdot \frac{h(R-x)}{R-r}= x²\pi \cdot \frac{Rh-xh}{R-r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(x) =x²\pi \cdot \frac{Rh}{R-r}- x²\pi \cdot \frac{xh}{R-r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V(x)= x² \cdot \frac{\pi Rh}{R-r}- x³\cdot \frac{\pi h}{R-r} \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du alle festen Größen in den Brüchen, die Variablen davor.
Das Ableiten sollte jetzt ein Kinderspiel sein. smile

13.06.2012, 21:35

sulo

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Zitat:

Original von MarioK
edit: Ich glaube du kannst auch grad nicht nachvollziehen, was ich gemacht habe... ich habe jetzt die Nebenbedingung nocheinmal so umgeändert, dass statt y=, x= rauskommt, sodass ich in die Hauptbedingung x auch noch einsetzen kann und somit keine Variable mehr drin ist. Sodass dann das Ergebnis nicht V = 2r/3 * y ist, sondern auch das y noch weg ist im Endergebnis...

Du kannst nicht beide Variablen dergestalt ersetzen, dass du sie ohne Ableiten bestimmen kannst.

Und selbst wenn: Wie willst du sie dann bestimmen, wenn du sie nicht in einer Gleichung verwendest? verwirrt

13.06.2012, 21:43

Kedor_Laomer

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Ich hab die Ableitung jetzt auch nicht kontrolliert, nachdem ich y²*pi*y las.

Du willst doch den Radius "x" für das maximale Volumen wissen, also wo die Funktion nach x abgeleitet einen Extremwert hat. Deine jetzige Formel hat gar kein x mehr. Wie willst du denn dann nach x ableiten?

die Formel, die sulo wiedergegeben hat ist richtig, die musst du nur noch ableiten und gleich 0 setzen.

Was die Produktregel angeht:
Das kann man sich folgendermaßen vorstellen:

wie schätzt man das Produkt von 2 großen Zahlen wie z.B.:

102 * 203 ?

die genaue Formel währe ja: 100 * 200 + 100 * 3 + 2 * 200 + 2 * 3

was fällt im Grenzwert weg?
natürlicht 2 * 3! Das Ergebnis davon ist im Verhältnis zu den anderen Ergebnissen so klein, dass man es vernachlässigen kann.

Die 2 und die 3 seien unsere Störung.

Wenn man nun von 100 * 200 + 100 * 3 + 2 * 200
100 * 200 abzieht, erhält man den ungefähren Unterschied zwischen
100 * 200 und 102 *203

100 * 3 + 2 * 200
gibt also gut genähert an, wie sich das Produkt von 100 * 200 ändert, wenn wir annehmen, 100 stehe für f (x) und 200 für g (x)
und wir ändern f (x) um + 2
im gleichen Atemzug ändert sich auch der andere Funktionswert, nämlich g (x), in diesem Fallbeispiel um + 3

also zusammengefasst:
Näherung für 102 * 203 - 100 * 200, also der Differenz entspricht
100 * 3 + 2 * 200
= f (x) * g' (x) + f '(x) * g (x)
Egal wie schwierig die Aufgaben auch sein mögen, die Produktregel bleibt so einfach. Ich hoffe nur, ich hab das in meinem Roman nicht unnötig verkompliziert.

edit: sorry, hab die letzten Beiträge verpasst.

13.06.2012, 22:39

MarioK

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Okay, da hatte ich ja einen massiven Denkfehler^^

Aber jetzt hab ichs zumindest einmal verstanden. Ob das Ergebnis jetzt richtig ist, weiß ich immer noch nicht...

Nach dem differenzieren und Gleichung lösen kommt dann für x = 2R/3 heraus. Also lautet dann die Volumsformel, wenn man das x einsetzt: V = 4R²/9 * Pi * y und das ist dann quasi das Endergebnis. Korrekt? Freude

13.06.2012, 22:44

sulo

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Dein x stimmt: x = 2/3 R. Freude

Jetzt muss noch das y bestimmt werden. smile

13.06.2012, 22:52

MarioK

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Puuuhhh! War ja ne schwere Geburt xD

Okay, damit ich nun auch das y bestimme, muss ich in die Nebenbedingung das gerade berechnete x einsetzen und bekomme dann für y = (hR)/(3R-3r)

Und für V dann $\begin{eqnarray*} V = \frac{2R²h\pi }{9R-9r} \end{eqnarray*}$

Stimmts? Freude

13.06.2012, 22:58

sulo

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Ich denke, du hast x nicht richtig quadriert. verwirrt

Dein y ist richtig. Freude

13.06.2012, 23:06

MarioK

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Achja stimmt, hab vergessen, dass es x² ist^^

Also Endergebnis ist jetzt $\begin{eqnarray*} V = \frac{4R³h\pi }{27R-27r} \end{eqnarray*}$

Das stimmt jetzt, ich bin glücklich, dass ich endlich das Ergbenis rausbekommen habe und danke euch, vor allem natürlich dir sulo, dass ihr mir geholfen habt und mich zur Lösung geführt habt Freude

Nochmals danke! Echt cooles Forum =)

13.06.2012, 23:14

sulo

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Ja, jetzt stimmt die Lösung. Freude

Freut mich auch, dass wir den Thread erfolgreich beenden konnten.
Diesmal hat es sogar geklappt, dass 2 Helfer in dem Thread aktiv waren, in der Regel führt das nur zu einem Durcheinander.

Wenn du wieder eine Frage hast, schau gerne wieder herein. smile

13.06.2012, 23:25

MarioK

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Jetzt muss ich euch doch wieder stören Wink

Hab jetzt alles in allem nochmal von Anfang an durchgerechnet, scheitere aber trotzdem noch an der Produktregel.

Ich habe also nun $\begin{eqnarray*} V(x) = x²\pi \frac{h(R-x)}{(R-r)} \end{eqnarray*}$

Das Problem ist nun, was ist hier f und was g?

ist f das eine x und g das andere? was mache ich mit den restlichen Zahlen?
Die Produktregel haben wir, wie bereits gesagt, in der Klasse nicht durchgenommen und hab nun keinen Plan, wie ich die richtig anwende unglücklich

Und wie ist es, wenn noch ein 3. x dazukommt... ist das dann quasi h und ist die Regel dann f'*g*h + f*g'*h + f*g*h'?

Wäre nett, wenn ihr mir diese Fragen noch beantworten könntet =)

14.06.2012, 10:51

sulo

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Da wir hier viele schon festgelegte Werte haben (pi, h, R, r), gibt es mehrere Möglichkeiten, wo man das Malzeichen setzt. Ich entscheide mich mal für diese Version:

$\begin{eqnarray*} V(x) = x²\pi \cdot \frac{h(R-x)}{R-r} \end{eqnarray*}$

Es gilt f '(u·v) = u·v' + u'·v

$\begin{eqnarray*} u = x²\pi ;~ u' = 2 x\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = \frac{h(R-x)}{R-r};~ v' = \frac{-h}{R-r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V '(x) = x²\pi \cdot \frac{-h}{R-r} + 2 x\pi \cdot \frac{h(R-x)}{R-r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V '(x) = -\frac{ x²\pi h}{R-r} + \frac{2 x\pi hR}{R-r} - \frac{2 x ^2\pi h}{R-r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V '(x) = \frac{2 x\pi hR}{R-r} - \frac{3 x ^2\pi h}{R-r} \end{eqnarray*}$

Das ist (natürlich) das gleiche Ergebnis wie bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} V(x)= x² \cdot \frac{\pi Rh}{R-r}- x³\cdot \frac{\pi h}{R-r} \end{eqnarray*}$ .

Wie gesagt, ich finde es wesentlich einfacher, vor dem Ableiten die Umformung zu Differenz zu machen als erst mit der Produktregel abzuleiten und dann umzuformen.

smile

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