Gruppentheorie und Nebenklassen - Beweis, dass Rechts- und Linksnebenklasse Untergruppe sind

10.06.2012, 14:55	Travys1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie und Nebenklassen - Beweis, dass Rechts- und Linksnebenklasse Untergruppe sind Ich habe zwei Aufgaben zu lösen, bei denen ich mich schwer tue. Sei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ eine Untergruppe einer Gruppe $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . 1) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} xHx^{-1} := ( xhx^{-1} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} h \in H) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. 2) Beweisen Sie, dass im Fall $\begin{eqnarray} \|H\| < \|G\| < \infty \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} G \neq \bigcup _{x \in G} xHx ^{-1}. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich hatte erst den Ansatz, über Nebenklassensätze zu zeigen, dass x aus G verknüpft mit einem H in der zugehörigen Untergruppe liegt und über den Satz, dass eine Abbildung mit einem $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ aus der Nebenklasse bijektiv auf ein $\begin{eqnarray} a^{-1} \end{eqnarray}$ abgebildet werden kann. Die zweite Aufgabe habe ich noch nicht ganz durchdrungen. Ist eventuell zu zeigen, dass ein $\begin{eqnarray} x \in G \end{eqnarray}$ exisitert, das nicht in $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ liegt? Danke für eure Hilfe.
10.06.2012, 15:22	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Wie wär's schlicht mit dem Untergruppenkriterium? 2) z.z. ist es gibt ein element y aus G dass in keinem der $\begin{eqnarray} xHx^{-1} \end{eqnarray}$ liegt. Anders formuliert $\begin{eqnarray} y\notin xHx^{-1} \end{eqnarray}$ für alle x. bedenke [H:G]>1 nach Vorr.
10.06.2012, 15:53	Travys1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich tu mich mit dem Inversen schwer bei 1). Wie weise ich das nach, da kommt doch irgendwie $\begin{eqnarray} (xhx^{-1})^{-1} = x^{-1}hx \end{eqnarray}$ oder is das Quatsch? Bei 2): Dankeschön für die Bestätigung und für den Hinweis.
10.06.2012, 15:57	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Quatsch. Es gilt $\begin{eqnarray} (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \end{eqnarray}$
10.06.2012, 17:00	Travys1337	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke nochmal, ich war mir unsicher, ob es wieder in $\begin{eqnarray} xHx1^{-1} \end{eqnarray}$ ist.

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