Eigenschaften einer Funktion erkennen

Eigenschaften einer Funktion erkennen

Welche Eigenschaften einer gebrochen rationalen Funktion kann man sofort erkennen?

Bspw.: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x² + 2x - 3}{x + 2} \end{eqnarray*}$

Ich erkenne nur:

- Polstelle bei - 2

- da Zählergrad > Nennergrad ist die Asymptote eine Kurve (müsste man durch Polynomdivision ausrechnen)

- weder Punkt- noch Achsensymmetrie vorhanden, da die Exponenten von x weder alle ungerade noch gerade sind

- Polstelle mit Vorzeichenwechsel, da der höchste Exponent von x gerade ist

- Grenzwert: strebt einmal gegen + unendlich und einmal gegen - unendlich

- Wertemenge müssten alle reellen Zahlen sein (möglicherweise ist die 0 nicht dabei ?)

Bitte um Ergänzung / Korrektur.

Gruß

Palästinenser

Zitat:

- Polstelle mit Vorzeichenwechsel, da der höchste Exponent von x gerade ist

Ungünstige Wortwahl. "Höchster Exponent im Nenner..."

Zitat:

- da Zählergrad > Nennergrad ist die Asymptote eine Kurve (müsste man durch Polynomdivision ausrechnen)

Der Zählergrad ist sogar um genau 1 größer, als der Nennergrad. Du kannst damit
eine genauere Aussage über die Kurve machen -> es handelt sich um eine Gerade.
Wird auch "schräge Asymptote" genannt.

Ergänzungen: Naja das ist schwierig. Was verstehst du unter "sofort erkennen"?
Also ich erkenne auch sofort die Nullstellen Augenzwinkern

.
Aber alles in allem ist denke ich das wichtigste Gesagt.
Gib den Defintionsbereich vllt noch an.

Die Wertemenge beinhaltet auch die 0 Augenzwinkern

.

Zitat:

Original von Equester
Ungünstige Wortwahl. "Höchster Exponent im Nenner..."

Ist denn für den Vorzeichenwechsel an der Polstelle lediglich der höchste Exponent im Nenner ausschlaggebend?

Zitat:

Der Zählergrad ist sogar um genau 1 größer, als der Nennergrad. Du kannst damit
eine genauere Aussage über die Kurve machen -> es handelt sich um eine Gerade.
Wird auch "schräge Asymptote" genannt.

Ach, okay! Was wäre wenn der Zählergrad um 1 kleiner als Nennergrad wäre oder um 2 größer?

Zitat:

Ergänzungen: Naja das ist schwierig. Was verstehst du unter "sofort erkennen"?
Also ich erkenne auch sofort die Nullstellen Augenzwinkern

.
Aber alles in allem ist denke ich das wichtigste Gesagt.
Gib den Defintionsbereich vllt noch an.

Die Wertemenge beinhaltet auch die 0 Augenzwinkern

.

Woher weißt du das mit der Wertemenge?

Ich denke das reicht, unsere Lehrerin erwartet da nicht viel. Aber was ist denn wenn es negative Vorzeichen vor dem x gibt? Das ist doch auch wichtig oder?

Sorry für die vielen Fragen. Big Laugh

Gruß

Palästinenser

Zitat:

Original von Palästinenser

Zitat:

Original von Equester
Ungünstige Wortwahl. "Höchster Exponent im Nenner..."

Ist denn für den Vorzeichenwechsel an der Polstelle lediglich der höchste Exponent im Nenner ausschlaggebend?

Ah sry, da hatte ich auch nur gelesen was ich wollte unglücklich

.

Richtig: Es kommt hier auf die Vielfachheit der Nullstelle an. Wir haben eine
einfache Nullstelle bei x=-2 -> VZW. Hätten wir eine doppelte Nullstelle gehabt
(oder eine andere gerade Vielfachheit) wäre dort kein VZW gewesen.

Zitat:

Der Zählergrad ist sogar um genau 1 größer, als der Nennergrad. Du kannst damit
eine genauere Aussage über die Kurve machen -> es handelt sich um eine Gerade.
Wird auch "schräge Asymptote" genannt.

Ach, okay! Was wäre wenn der Zählergrad um 1 kleiner als Nennergrad wäre oder um 2 größer?
[/quote]

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad (egal um wie viel) ist immer die x-Achse
die waagrechte Asymptote.
Wäre der Zählergrad um 2 größer, hätten wir eine parabelförmige Asymptote.
Ist Zählergrad=Nennergrad, haben wir eine waagrechte Asymptote, also parallel
zur x-Achse.

Zitat:

Ergänzungen: Naja das ist schwierig. Was verstehst du unter "sofort erkennen"?
Also ich erkenne auch sofort die Nullstellen Augenzwinkern

.
Aber alles in allem ist denke ich das wichtigste Gesagt.
Gib den Defintionsbereich vllt noch an.

Die Wertemenge beinhaltet auch die 0 Augenzwinkern

.

Woher weißt du das mit der Wertemenge?

[/quote]

Man erkennt es schon an der Polstelle: Da haben wir einmal -unendlich und +unendlich.
Da wir eine stetige Funktion haben (außer an der Polstelle selbst) haben
wir den Wertebereich auf ganz R.

Zitat:

[...] was ist denn wenn es negative Vorzeichen vor dem x gibt? Das ist doch auch wichtig oder?

Vor welchem x?

Zitat:

Original von Equester
Richtig: Es kommt hier auf die Vielfachheit der Nullstelle an. Wir haben eine
einfache Nullstelle bei x=-2 -> VZW. Hätten wir eine doppelte Nullstelle gehabt
(oder eine andere gerade Vielfachheit) wäre dort kein VZW gewesen.

Ok also das x (egal im Nenner oder Zähler) mit dem höchsten Exponenten ist ausschlaggebend -> bei geraden Zahlen kein VZW, bei ungeraden Zahlen -> VZW.

Zitat:

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad (egal um wie viel) ist immer die x-Achse
die waagrechte Asymptote.
Wäre der Zählergrad um 2 größer, hätten wir eine parabelförmige Asymptote.
Ist Zählergrad=Nennergrad, haben wir eine waagrechte Asymptote, also parallel
zur x-Achse.

Ok. Und wie bestimmt man nun wie die waagerechte Asymptote aussieht? Bspw. für die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x + 4}{x - 2} \end{eqnarray*}$

Nimmt man da nur die Zahlen vor dem x mit den höchsten Exponenten, also:

2 / 1 = 2, somit wäre die waagerechte Asymptote bei x = 2?

Zitat:

Man erkennt es schon an der Polstelle: Da haben wir einmal -unendlich und +unendlich.
Da wir eine stetige Funktion haben (außer an der Polstelle selbst) haben
wir den Wertebereich auf ganz R.

Ach stimmt, danke!

Zitat:

Vor welchem x?

Für alle x. Welche wäre denn wichtig?

Gruß

Palästinenser

Edit: bei Zählergrad = Nennergrad, ist die waagerechte Asymptote nicht die Polstelle?

Zitat:

Original von Palästinenser

Zitat:

Original von Equester
Richtig: Es kommt hier auf die Vielfachheit der Nullstelle an. Wir haben eine
einfache Nullstelle bei x=-2 -> VZW. Hätten wir eine doppelte Nullstelle gehabt
(oder eine andere gerade Vielfachheit) wäre dort kein VZW gewesen.

Ok also das x (egal im Nenner oder Zähler) mit dem höchsten Exponenten ist ausschlaggebend -> bei geraden Zahlen kein VZW, bei ungeraden Zahlen -> VZW.

Nein es geht hier nur um die Nennernullstellen.
Die Zählernullstellen beschreiben nur den Ort, wo die x-Achse geschnitten wird,
sonst ist da nichts besonderes. Die Nennernullstellen sind aber die Definitionslücken.
Um die geht es. Bis auf die Klammer ist die Sache also richtig.

Zitat:

Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad (egal um wie viel) ist immer die x-Achse
die waagrechte Asymptote.
Wäre der Zählergrad um 2 größer, hätten wir eine parabelförmige Asymptote.
Ist Zählergrad=Nennergrad, haben wir eine waagrechte Asymptote, also parallel
zur x-Achse.

Ok. Und wie bestimmt man nun wie die waagerechte Asymptote aussieht? Bspw. für die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2x + 4}{x - 2} \end{eqnarray*}$

Nimmt man da nur die Zahlen vor dem x mit den höchsten Exponenten, also:

2 / 1 = 2, somit wäre die waagerechte Asymptote bei x = 2?

Das ist richtig Freude

.

Zitat:

Vor welchem x?

Für alle x. Welche wäre denn wichtig?

Es spielt nur das x mit der höchsten Potenz eine Rolle. Beim Rest ist das
Vorzeichen mehr oder weniger egal.
Überlege selbst, was das Vorzeichen bewirkt Augenzwinkern

.

Zitat:

Edit: bei Zählergrad = Nennergrad, ist die waagerechte Asymptote nicht die Polstelle?

Polstelle hat immer eine senkrechte Asymptote Augenzwinkern

.

Bin grillen. Also erst späters wieder da Augenzwinkern

.

Zitat:

Original von Equester
Nein es geht hier nur um die Nennernullstellen.
Die Zählernullstellen beschreiben nur den Ort, wo die x-Achse geschnitten wird,
sonst ist da nichts besonderes. Die Nennernullstellen sind aber die Definitionslücken.
Um die geht es. Bis auf die Klammer ist die Sache also richtig.

Ok danke!

Zitat:

Das ist richtig Freude

.

Und das ist mathematisch korrekt? Immer die Zahlen vor dem "x" zu nehmen?

Zitat:

Es spielt nur das x mit der höchsten Potenz eine Rolle. Beim Rest ist das
Vorzeichen mehr oder weniger egal.
Überlege selbst, was das Vorzeichen bewirkt Augenzwinkern

.

Nun ja ein Minus davor müsste doch heißen, dass die Funktion dann links von der Y-Achse verläuft?

Zitat:

Polstelle hat immer eine senkrechte Asymptote Augenzwinkern

.

Bin grillen. Also erst späters wieder da Augenzwinkern

.

Den Satz versteh ich nicht, "Polstelle hat immer eine senkrechte Asymptote?! verwirrt

Okay viel Spaß - hoffe mir hilft solange ein Andere.^^

Gruß

Palästinenser

Zitat:

Das ist richtig Freude

.

Und das ist mathematisch korrekt? Immer die Zahlen vor dem "x" zu nehmen?

Ja, du bildest den Grenzwert und da kommt nachher nichts anderes raus, als "die
Zahl vor dem x".

Zitat:

Es spielt nur das x mit der höchsten Potenz eine Rolle. Beim Rest ist das
Vorzeichen mehr oder weniger egal.
Überlege selbst, was das Vorzeichen bewirkt Augenzwinkern

.

Nun ja ein Minus davor müsste doch heißen, dass die Funktion dann links von der Y-Achse verläuft?

Ich verstehe nicht? Deiner Aussage zu folge, haben wir bei einem Minus vor dem x,
nur auf der linken Seite des Schaubilds etwas?
Vielmehr ist zu beachten, dass bei -x² und x² die Öffnung woanders liegt.
Oder bei -x³ und x³ ein unterschiedliches Grenzverhalten da ist. Einmal ist für
x->-unendlich das ganze +unendlich (-x³) oder eben andersrum (x³).
Selben Unterschied findet man dann auch bei der Polstelle. Je nach Vorzeichen
nähert sich die Polstelle gegen + oder - unendlich an.

Zitat:

Polstelle hat immer eine senkrechte Asymptote Augenzwinkern

.

Bin grillen. Also erst späters wieder da Augenzwinkern

.

Den Satz versteh ich nicht, "Polstelle hat immer eine senkrechte Asymptote?! verwirrt

Eine Polstelle ist ja immer eine Stelle, wo sich die Seiten gegen unendlich annähern.
Sich also an eine Senkrechte annähern -> der senkrechten Asymptote.

Meine Fragen bzgl. "Eigenschaften" erkennen sind somit zu Ende. smile

Vielen, vielen Dank. Mein Held. Wink

Gerne

.

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