Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

10.06.2012, 15:36	biene23	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Meine Frage: Hallo, ich soll folgendes zeigen: Man nehme an, dass $\begin{eqnarray} EZ_n \rightarrow c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Var(Z_n) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt, dass $\begin{eqnarray} Z_n \overset{P}{\rightarrow} c. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider habe ich keine Idee, wie ich das zeigen soll... Kann man vielleicht die Markov-Ungleichung verwenden?? Vielleicht kann mir jemand helfen?
10.06.2012, 16:03	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit Aus der Markow-Ungleichung (bzw der hieraus folgenden Tschebyschow-Ungleichung) folgt dies direkt. Schreib mal auf was zu zeigen ist und wende diese darauf an
11.06.2012, 17:24	biene23	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray} lim_{n \to \infty} P(\|Z_n-c\|>\epsilon)=0 \end{eqnarray}$ ist. Wenn ich jetzt die Tschebyscheff-Ungleichung anwende, dann bekomme ich: $\begin{eqnarray} P(\|Z_n-c\|>\epsilon)\rightarrow 0/\epsilon^2=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ . Ist das so richtig?
11.06.2012, 18:52	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig
11.06.2012, 20:43	biene23	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
12.06.2012, 13:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas exakter sollte man es schon noch aufschreiben: Denn schließlich ist ja nicht $\begin{eqnarray} E(Z_n)=c \end{eqnarray}$ , sondern "nur" $\begin{eqnarray} E(Z_n) \to c \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ - das muss schon sorgfältig verarbeitet werden.
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