Dreiecksungleichung bei mµ-Integralen

10.06.2012, 16:41

martha.1981

Dreiecksungleichung bei mµ-Integralen

Hi, steh grad auf dem Schlauch,

Für ein mu-Integral ist die Dreiecksungleichung ( $\begin{eqnarray*} \vert \int f\mu\vert \leq \int \vert f\vert\mu \end{eqnarray*}$ ) zu zeigen. Ich verstehe den Beweis, nur der letzte Schritt kommt mir grad nicht.

Gezeigt wurde, dass $\begin{eqnarray*} -\int \vert f\vert \mu\leq \int \vert f\vert\mu \end{eqnarray*}$ ist. Warum folgt dann die Behauptung?

10.06.2012, 19:20

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RE: Dreiecksungl. bei mu-Integralen
Tut mir Leid, da musst du wohl den ganzen Beweis hinschreiben, weil das letzte so nur wenig Sinn hat.
Das Problem ist, dass es für solche Tatsachen nicht DEN Beweis gibt.

Wenn du Integrale über allg. Maße ganz normal definierst über Treppenfunktionen --> approx. von positiven Funktion über Treppenfunktionen --> Zerlegung allg. Funktionen in Positiv- und Negativanteil, dann folgt die Dreiecksungleichung aus der Dreiecksungleichung für reelle Zahlen, weil:

$\begin{eqnarray*} f=f_+-f_- \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f_+:=\max(f(x),0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_-:=\max(-f(x),0) \end{eqnarray*}$ und dann
$\begin{eqnarray*} \int f~d\mu:=\int f_+~d\mu-\int f_-d\mu \end{eqnarray*}$ falls das alles wohldefiniert ist.
Damit ist:
$\begin{eqnarray*} \int |f|~d\mu:=\int f_+~d\mu+\int f_-d\mu \end{eqnarray*}$
und dann mit der normalen Dreiecksungleichung:
$\begin{eqnarray*} |\int f~d\mu|=|\int f_+~d\mu-\int f_-d\mu|\leq \int f_+~d\mu+\int f_-d\mu =\int |f|~d\mu \end{eqnarray*}$

Fertig.

Gruß
MI

10.06.2012, 20:21

martha.1981

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Na das scheint mir aber auch nicht so ohne weiteres richtig zu sein.

Ang f> 0 mit $\begin{eqnarray*} \int f\mu = -87 \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} \vert\int f_+\mu - \int f_-\mu\vert = \vert -87\vert = 87 > -87 = \int f_+\mu + \int f_-\mu = \int f\mu \end{eqnarray*}$

Aber ich stehe heute eh neben mir.

10.06.2012, 20:40

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Dann musst du mir erklären, was dein $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist. Ich war davon ausgegangen, dass es sich um ein Maß handelt - Maße sind aber immer positiv, also ist ein Integral über eine immer positive Funktion immer positiv.

Gruß
MI

10.06.2012, 20:54

martha.1981

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Haja, ist schon das Maß. Achso, ja du hast recht: Das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ -Integral von f+ $\begin{eqnarray*} \int f_+\mu \end{eqnarray*}$ ist ja stehts positiv. Dann passts.

Zu meinem Beweisansatz: Der Beweis steht wie folgt im Skript:

Zitat:

Wegen $\begin{eqnarray*} -\vert f\vert \leq f\leq \vert f\vert \end{eqnarray*}$ und Monotonie

$\begin{eqnarray*} -\int \vert f\vert\mu = \int -\vert f\vert\mu\leq \int f\mu \leq \int \vert f\vert \mu \Rightarrow \vert\int f\mu\vert\leq\int\vert f\vert\mu \end{eqnarray*}$

blick grad nicht.

10.06.2012, 21:02

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Ja gut. Also im Grunde benutzt der Beweis die Monotonie des Integrals. Nehmen wir für den Augenblick mal an, $\begin{eqnarray*} \int f ~d\mu>0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt wegen der Monotonie offenbar (offenbar, weil das genau die Aussage der Monotonie ist Augenzwinkern

)

$\begin{eqnarray*} \int f ~d\mu\leq \int |f|~d\mu \end{eqnarray*}$
Andererseits, wenn das Integral kleiner Null ist, dann gilt aber immer noch (Multiplikation mit -1, dann haben wir den obigen Fall).
$\begin{eqnarray*} -\int f ~d\mu\leq \int |f|~d\mu~~\Leftrightarrow~~ \int f ~d\mu\geq \int -|f|~d\mu \end{eqnarray*}$
Insgesamt gilt damit aber in jedem Fall die Zeile, die da steht.
Nun gilt aber:
$\begin{eqnarray*} -a\leq b\leq a~~\Leftrightarrow |b|\leq a \end{eqnarray*}$
Und das wird benutzt.

Gruß
MI

11.06.2012, 09:16

martha.1981

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Gott, genau so war das. Danke!

11.06.2012, 09:35

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Wunderbar, dann haben wir's ja geschafft smile

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