Beweis Satz von Euler (homogene..)

Neue Frage »

10.06.2012, 18:54	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Satz von Euler (homogene..) Es geht sich um folgende Aufgabe: Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Mit einem $\begin{eqnarray} \alpha \leq 2 \end{eqnarray}$ gelte: $\begin{eqnarray} f(\lambda x)=\lambda^\alpha f(x) \end{eqnarray}$ , für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n, \lambda > 0 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \sum_{i,k=1}^n (\delta_i\delta_kf)(x)x_ix_k = \alpha(\alpha-1)f(x) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gilt. Die $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ sind diese komischen Zeichen für die partielle Ableitung. Nun habe ich etwas gegooglet, und doch einiges dazu gefunden. Der generelle Weg ist wohl: Zunächst leite ich die Gleichung $\begin{eqnarray} f(\lambda x) = \lambda^\alpha f(x) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ab. . Es gilt somit $\begin{eqnarray} f'(\lambda x) = \alpha\lambda^{\alpha-1}f(x) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f''(\lambda x) = \alpha(\alpha-1)\lambda^{\alpha-2}f(x) \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ folgt daraus: $\begin{eqnarray} f''(x) = \alpha(\alpha-1)f(x) \end{eqnarray}$ Dies ist soweit logisch, auch wenn ich noch nicht verstehe, warum ich das mache. Es führt also zum Ergebnis. Jedoch ist mir nicht klar, was auf der linken Seite steht: $\begin{eqnarray} \sum_{i,k=1}^n (\delta_i\delta_kf)(x)x_ix_k = \alpha(\alpha-1)f(x) \end{eqnarray}$ Was ist also $\begin{eqnarray} \sum_{i,k=1}^n (\delta_i\delta_kf)(x)x_ix_k \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \delta_if(x) \end{eqnarray}$ ist die partielle Ableitung in Richtung des i-ten Basisvektors. Für die Partielle Ableitung von f(x) gilt damit: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \delta_if(x) \end{eqnarray}$ Also die Summe der partiellen Ableitung in Richtung der Basisvektoren. Wie komme ich allerdings auf: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n \delta_if(x)x_i \end{eqnarray}$ Wo kommt also dieses $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ her?
10.06.2012, 19:28	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Satz von Euler (homogene..) Du kannst nicht einfach links nach lambda ableiten, weil lambda keine Variable ist - du musst die Kettenregel benutzen. Damit wirst du Ableitungen der Form $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial \lambda x} \end{eqnarray}$ die dann eben zu partiellen Ableitungen werden, wenn du hinterher $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ setzt. Von der Nachableitung bekommst du dann die x_i. Gruß MI
10.06.2012, 19:35	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Kettenregel, darf ich die innere Ableitung nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aber bilden? Oder welche "Nachableitung" meinst du?
10.06.2012, 19:40	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau. Du musst halt $\begin{eqnarray} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\lambda}=\sum_{i} \frac{\partial}{\partial \lambda x_i}\frac{\mathrm{d}(\lambda x_i)}{\mathrm{d}\lambda} \end{eqnarray}$ nutzen. Gruß MI
11.06.2012, 14:45	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir interessieren uns für: $\begin{eqnarray} \frac{d}{d\lambda}(f(\lambda x)) \end{eqnarray}$ Damit ist gemeint, dass wir die ganz normale eindimensionale Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray} \lambda \to f(\lambda x) \end{eqnarray}$ suchen. Wir setzen also $\begin{eqnarray} g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n g(\lambda) = \lambda x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ und berechnen mit der Kettenregel $\begin{eqnarray} \frac{d}{d\lambda} (f(\lambda x)) = (f \circ g)^{'} (\lambda)= D(f\circ g)(\lambda)= Df(g(\lambda)) Dg(t) = \bigtriangledown f(g(t)) * Dg(t) = \sum_{i=1}^n \delta_if(\lambda x)x_i \end{eqnarray}$ Ich habe mich dazu an einem Beispiel im Skript entlanggehangelt, um es formal korrekt aufzuschreiben. Wie kriege ich da nun noch die 2. Ableitung rein?
11.06.2012, 20:21	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurz: Das Symbol für die partielle Ableitung ist übrigens \partial. Rechnung stimmt. Ansonsten: Naja, ursprünglich wolltest du doch ZWEIMAL ableiten - also einfach nochmal dasselbe Spielchen. Gruß MI
Anzeige

12.06.2012, 15:33	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst Danke für deine Mühen. Für die 2. Ableitung gilt dann noch: Wir interessieren uns für: $\begin{eqnarray} \frac{d}{d \lambda} h(\lambda x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x): \sum_{i=1}^n (\partial_if)(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{d\lambda}(h(\lambda x)) = (h \circ g)^{'}(\lambda)= D(h \circ g)(\lambda)= D h(g(\lambda)) Dg( \lambda) = \bigtriangledown h (g(\lambda)) * Dg(\lambda) = \sum_{i,k=1}^n (\partial_k\partial_if)(\lambda x)x_ix_k \end{eqnarray*}$ Ist das formal korrekt notiert?
12.06.2012, 21:57	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst schon das x_i mitnehmen bei dem h, da das ja auch in die Summe gehört. An der Rechnung ändert das natürlich eher wenig. Warum du "D" unbedingt in Nabla (latex: \nabla) umwandeln möchtest, ist mir allerdings nicht ganz klar, D meint doch schon Nabla... Der Umweg mit der Definition von g ist richtig, aber ich denke, man muss das nicht noch ein zweites Mal so ausschweifend hinschreiben . Und wie du jetzt siehst: Jetzt hast du (bei lambda=1) genau deinen Schritt stehen! Gruß MI
18.06.2012, 19:45	barracuda317	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Satz von Euler (homogene..)

Verwandte Themen