Fläche eines Polygons

11.06.2012, 14:15	seldon	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche eines Polygons Hi! Da die Prüfung vor der Tür steht und ich einfach keine Lösung zu folgendem Problem finden kann versuche ich hier mein Glück! Aufgabenstellung: Gegeben sei das Polygon $\begin{eqnarray} P = [A, B, C, D] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 3), C = (3, 0, 1), D = (2, -2, -2) \end{eqnarray}$ (a) Stellen Sie, wenn möglich, die Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ in Parameterform auf, in der das ursprüngliche Dreieck $\begin{eqnarray} [A, B, C] \end{eqnarray}$ liegt. (b) Liegt auch Punkt $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ in dieser Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ ? (c) Berechnen Sie die Fläche des Polynoms $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ Rechenweg: (a) $\begin{eqnarray} E = \vec{a} + s \cdot (\vec{b} - \vec{a}) + t \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E = 2 \cdot x_{1} + 8 \cdot x_{2} - 6 \cdot x_{3} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D = (2, -2, -2): 2 \cdot 2 + 8 \cdot (-2) - 6 \cdot (-2) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ D liegt in E (c) Hier habe ich keine Ahnung mehr und Recherche in Internet und Foren liefert nur Formeln für die Berechnung der Fläche eines Polygons in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ , wie in diesem Fall, ist nichts zu finden. Da ja alle 4 Punkte des Polygons auf einer Ebene liegen, wie in (b) gezeigt, vermute ich einmal es wäre möglich, und ist zur Berechnung der Fläche notwendig, eine Dimension zu eliminieren. Wenn $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x_{3} \end{eqnarray}$ in allen Punkten gleich wäre, könnte man es ja einfach weglassen um in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ zu kommen. Da das hier aber nicht der Fall ist, weiß ich nicht mehr weiter. Bitte um Hilfe, würde mich sehr freuen! LG
11.06.2012, 19:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
schade, keine Formel! Und wie es es mit selbstständiger Arbeit? Das Polygon kannst du in 2 Teildreiecke zerlegen. Ich würde jetzt, bevor ich mich in die Tiefen des Raumes stürze, von jedem Dreieck die Seitenlängen berechnen. z.B. u,v,w Und mit s= halbem Umfang gibt es die Formel von Heron: $\begin{eqnarray} A_{\textrm {Dreieck}}= \sqrt{s(s-u)(s-v)(s-w)} \end{eqnarray}$
12.06.2012, 11:58	seldon	Auf diesen Beitrag antworten »
Tausend Dank! War leider nicht klug genug selbständig darauf zu kommen, das Polygon als 2 Dreiecke zu sehen.. Die 2 Flächen der Dreiecke habe ich jetzt noch einfacher mit der Hälfte des Betrags des Kreuzprodukts der Vektoren AB und AC bzw. AC und AD berechnet.

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