Kompaktheit eines Operators zeigen

09.07.2004, 18:01	Lars	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompaktheit eines Operators zeigen Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Bezeichne $\begin{eqnarray} l^\infty \end{eqnarray}$ den Banach-Raum der beschränkten Zahlenfolgen $\begin{eqnarray} c=(c_k) \end{eqnarray}$ mit der Norm $\begin{eqnarray} \mid \mid c\mid \mid = sup_{n\in \mathbb N_0 } \mid c_n \mid \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, daß der Operator $\begin{eqnarray} A: c -> f(x)=\sum_{n=0}^\infty~{c_nx^n} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} l^{\infty } \end{eqnarray}$ nach C[-a,a] für alle $\begin{eqnarray} a\in (0,1) \end{eqnarray}$ kompakt ist. Benutzen Sie die Kompaktheit der Sobolevschen Einbettung. Ich weiß einfach nicht, was ich da machen soll. Kann mir jemand helfen?
10.07.2004, 19:49	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Lars, Da es sich um einen linearen Operator handelt würde es meiner Meinung nach reichen die Beschränktheit zu zeigen. linear +beschränkt=stetig -> (konvergente Folgen in konvergente Folgen usw.) und das der GW in C[-a,a] liegt \|T(x)\|<\|T\|\|x\| sprich Beschränktheit reicht hier wieder. mit welcher Norm ist C[-a,a] versehen? gruß mathemaduenn
11.07.2004, 12:12	Lars	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hallo mathemaduenn, In C(K) ist die Norm die Maximumnorm $\begin{eqnarray} \mid \mid f \mid \mid _\infty = max_{x\in K} \mid f(x) \mid \end{eqnarray}$ Daß f(x) beschränkt ist, ist doch eigentlich klar, da c beschränkt ist und $\begin{eqnarray} x \in (0,1) \end{eqnarray}$ , oder? Wie hast du das mit dem Grenzwert gemeint? Was bedeutet \|T(x)\|<\|T\|\|x\| ? Und wie kommt hier die Sobolevschen Einbettung ins Spiel? Brauche ich die hier überhaupt?
12.07.2004, 01:11	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Lars Ich denke eben das man die Sobolevsche Einbettung nicht braucht. Ich weiß auch nicht was die nun genau besagte. kompakt war: A beschränkt -> T(A) relativ kompakt da T beschränkt ist T(A) auch beschränkt aus der Tatsache das C[-a,a] mit der Supremumsnorm ein Banachraum ist folgt die relative Kompaktheit von beschränkten Mengen. gruß mathemaduenn
12.07.2004, 13:49	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass es sich mit dieser Beschränktheitsgeschichte in BR um einen Trugschluss handelt: z.B. ist die Einheitskugel in l^\infty nicht relativ kompakt, oder? Man nehme z.B. die Folge von Folgen, die nur Nullen und im n-ten Glied eine 1 enthalten als Gegenbeispiel (keine konvergente TF).... Ich denke, das ganze ist ungefähr so gedacht: stetige Funktionen auf kompaktem Träger sind L_2, d.h. man kann nach ein paar Argumenten mit der Sobolev-Einbettung W21->L_2 arbeiten. Dabei muss man beachten, dass die angegebene Potenzreihe wegen 0<a<1 diffbar ist (geom. Reihe). Man kann den Operator dann als Komposition einer beschränkten linearen (also stetigen) Abb. von l^\infty nach W_21 und der kompakten Einbetteung des letzteren in L_2 auffassen. Die Komposition einer stetigen mit einer kompakten Abbildung ist wieder kompakt. Ich hoffe, richtig zu liegen; allerdings erfordert die Sache wohl noch etwas Detailarbeit. Lass mal wissen, ob es so funktioniert... Liebe Grüße Mario
12.07.2004, 14:56	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mario, Da hatte ich wohl wieder mal das mit dem unendlichdimensionalen vergessen. Wieso L2 gab's nicht auch ne Einbettung W_21 nach C oder war die nicht kompakt? gruß mathemaduenn
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13.07.2004, 13:13	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht; W21-Funktionen haben stetige Repräsentanten. Das mit den Einbettungen könnte stimmen, es gibt da Sätze, auch welche, die Kompaktheit liefern. Häufig mit W21,0 oder rel. kompakten Gebieten usw. Vielleicht muss man auch noch eine Differentiationsstufe höher gehen, aber irgendwie müsste das Argument schon passbar zu machen sein. Liebe Grüße Mario

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