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11.06.2012, 17:34	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl Hallo zusammen Ich will folgende Dgl lösen: $\begin{eqnarray} y'=\frac {3}{4} \sqrt {\|x\|}y^3 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} y'/y^3=\frac {3}{4} \sqrt {\|x\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac {dy}{dxy^3} \, dx=\int \! \frac {3}{4} \sqrt {\|x\|} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac {1}{2y^2}+C_a=\frac {1}{2} \|x\|^{3/2}+C_b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac {1}{\sqrt {-\|x\|^{3/2}+C}} \end{eqnarray}$ Stimmt das denn soweit? Wenn ich jetzt nämlich das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} y(0)=0 \end{eqnarray}$ betrachte, erhalte ich $\begin{eqnarray} 0=\frac {1}{\sqrt C} \end{eqnarray}$ und somit keine Lösung. Danke schonmal, Gruß
16.06.2012, 10:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kalkül der Trennung der Veränderlichen hat Voraussetzungen, unter denen man ihn anwenden darf. Sind $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ in Intervallen $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} J \end{eqnarray}$ stetig und ist $\begin{eqnarray} \xi \in I \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \eta \in J \end{eqnarray}$ , dann ist das Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} y' = f(x) \cdot g(y) \, , \ \ y(\xi) = \eta \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar, wenn $\begin{eqnarray} g(\eta) \neq 0 \end{eqnarray}$ ist (nach Walter, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer 1976, Seite 14). Die Lösung erhält man durch formales Trennen der Veränderlichen. Hier hat man $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{3}{4} \sqrt{\|x\|} \, , \ \ g(y) = y^3 \end{eqnarray}$ Die hinreichende Bedingung $\begin{eqnarray} g(\eta) \neq 0 \end{eqnarray}$ ist nicht erfüllt ( $\begin{eqnarray} \xi = \eta = 0 \end{eqnarray}$ ), also kann man den Kalkül auch nicht ohne weiteres anwenden. Man sieht sofort, daß $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ (konstant) eine Lösung der Differentialgleichung ist. Wenn $\begin{eqnarray} y(0) = 0 \end{eqnarray}$ gelten soll, so folgt durch Einsetzen in die Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} y'(0) = 0 \end{eqnarray}$ . Jede mögliche Lösung muß daher mit der Steigung 0 durch den Ursprung gehen. Und so ist die Frage, ob es außer der Nullfunktion weitere Funktionen gibt, die die Differentialgleichung erfüllen. Übrigens stimmt auch eines deiner Integrale nicht: $\begin{eqnarray} \int \sqrt{\|x\|} ~ \dd x = \frac{2}{3} x \cdot \sqrt{\|x\|} \end{eqnarray}$

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