Bestimmung Primzahlen für Kongruenz

11.06.2012, 18:04

JuPee

Bestimmung Primzahlen für Kongruenz

Meine Aufgabe:
Man bestimme alle Primzahlen $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} x^{4} \equiv 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Lösung $\begin{eqnarray*} x\not\equiv \pm 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ besitzt.

Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz ... Verstehe gar nicht richtig die Aufgabe -.-
Bin um jede Hilfe dankbar!

11.06.2012, 18:12

Captain Kirk

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Ist p=5 so ist x=2 eine Lösung.

Man kann die Aufgabe auch so formulieren.
Für welche p hat das Polynom $\begin{eqnarray*} \frac{X^4-1}{(X+1)(X-1)} \end{eqnarray*}$ (ausrechnen darfst du's selber) eine Nullstelle mod p.
Mit quadratischem Reziprozitätsgesetz geht's sehr schnell.

11.06.2012, 18:27

Mystic

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Man kann die Aufgabe auch so formulieren: Für welche Primzahlen p gibt es Elemente der Ordnung 4 in der primen Restklassengruppe mod p...

11.06.2012, 19:45

JuPee

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Ok, die Aufgabe habe ich zumindest verstanden.

$\begin{eqnarray*} x^{4}\equiv 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ kann ich ja umschreiben in $\begin{eqnarray*} \left(x^{2}\right)^{2} \equiv 1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ .

Heißt das jetzt, dass ich alle p bestimmen muss, für die $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{p} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt? Wenn ja, wie könnte das funktionieren? -.-

11.06.2012, 19:55

Captain Kirk

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Zitat:

Heißt das jetzt, dass ich alle p bestimmen muss, für die $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{p} \right) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt?

Nein heißt es nicht.
Du musst du dringend die Definition Legendre-Symbols anschauen.
$\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{p} ) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt banalerweise für alle p.

Auch wie du auf deine Umschreibung kommst kann ich in keiner weise nachvollziehen.

11.06.2012, 20:08

JuPee

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Wenn ich ehrlich bin, habe ich das auch alles nicht richtig verstanden.

Mit dem quadr. Reziprozitätsgesetz kann ich doch überprüfen, ob eine Gleichung der Form $\begin{eqnarray*} x^{2}\equiv a \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} mod \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine Lösung hat. Bzw. ob das Legendre-Symbol $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{p} \right) \end{eqnarray*}$ einen quadr. Rest hat. Und dies ist der Fall, wenn 1 rauskommt.

Deswegen haben ich $\begin{eqnarray*} x^{4} = \left(x^{2} \right) ^{2} \end{eqnarray*}$ umgeschrieben.

Aber anscheinend ist das ja falsch. Kannst du mir evtl erklären, was das quadr. RG aussagt und wie ich es anwende?

11.06.2012, 20:17

Captain Kirk

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Das quadr. Rezi.Gesetz ist schlicht eine Ansammlung von sehr nützlichen Rechenregeln für das Legendre/Jacobi-Symbol.
Das Legendre-Symbol besagt ob eine Zahl a mod p quadratischer rest ist oder nicht.

Deine Umschreibung dient nur dazu zu prüfen ob die Zahl x² eine Quadratzahl ist. Und oh Wunder sie ist es.
Eigentlich hab ich alles was zum lösen dieser Aufgabe notwendig ist bereits im ersten post gesagt.

Zitat:

Wenn ich ehrlich bin, habe ich das auch alles nicht richtig verstanden.

Selbsterkenntnis ist der erste Weg zur Besserung. (Ich freu mich immer wenn ich das sagen darf.)

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