Volumenberechnung mit Vektoren

11.06.2012, 18:44

Sum

Volumenberechnung mit Vektoren

Meine Frage:
Hallo,
ich versuche gerade eine Aufgabe zu lösen:
Die Punkte A (-7/-5/2) B (1/9/6) C (5/-2/-1) D (-2/0/9) sind die Eckpunkte einer Pyramide mit dreieckiger Gundform.

Ich hab zwar ne Idee, weil aber nicht ob es so stimmt, könnt ihr mal kurz drüber gucken?

Meine Ideen:
Also Volumen von Pyramide: 1/3 mal Grundseite mal Höhe

ich hab den Vektor AB ausgerechnet (8/14/4) der Betrag dazu ist wurzel 276.
die Mitte zwischen A und B liegt dann bei (4/7/2)

jetzt hab ich den Vektor zwischen der Mitte von AB und C ausgerechnet um die Höhe des Dreiecks zu bekommen (1/-9/-3) Betrag hierzu: Wurzel 91

Hab die zwei ausgerechneten Beträge dann in mal genommen und durch 0.5 geteilt (ist ja ein Dreieck).

Jetzt dachte ich mir ich könnte eine Ebenengleichung aufstellen:
(-7/-5/2) + r mal (8/14/4) + t mal (12/3/-3)
also Punkt A als Stützvektor, die Vektoren AB und AC als Spannvektoren und mit dem Punkt die Hesse'sche Normalenform bilden um den Abstand von der Grundseite zur Pyramidenspitze zu bekommen.

Die krummen Zahlen verwirrsen mich aber sehr und es wär toll, wenn mich jemand verbessern könnte, wann das so nicht stimmt.
Vielen Dank!

11.06.2012, 19:09

opi

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Zitat:

die Mitte zwischen A und B liegt dann bei (4/7/2)

Nein, liegt sie nicht.

Der Vektor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow {AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ muß noch zum Ortsvektor von A hinzuaddiert werden.
Das nützt Dir aber nichts, da die Höhe des Dreiecks senkrecht auf AB stehen muß, nicht in der Mitte.

Die Flächenberechnung des Dreiecks geht deutlich einfacher mit dem Kreuzprodukt, siehe hier, und das Volumen der Pyramide läßt sich mit dem Spatprodukt auch direkt bestimmen. (Wenn ihr letzteres in der Schule benutzen dürft.)

Edit: Das Wichtigste vergessen und eingefügt.

11.06.2012, 23:05

Sum

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Ok, danke, fürs nachsehen!

Ich versteh jetzt nur noch nicht so ganz, wieso man mit dem Kreuzprodukt Flächen ausrechnen kann, dachte immer, da kommt dann der Normalenvektor einer Ebene raus ...

11.06.2012, 23:18

Sum

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ach und, geht das mit dem Kreuzprodukt nur bei Parallelogramm/Dreieck?
Wie berechne ich dann die Flächeninhalte und Volumina bei anderen Körpern?

12.06.2012, 01:08

opi

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Mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren erhält man einen Normalenvektor einer Ebene, das ist richtig. Der Betrag dieses Vektors entspricht dem Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms, der halbierte Betrag dem Flächeninhalt des durch die beiden Vektoren aufgespannten Dreiecks.

Zur Volumenberechnung: Deine Idee mit der Hesse'schen Normalenform ist gut und wird wahrscheinlich in der Schule auch so verlangt. Deine aufgestellte Parametergleichung der Ebene stimmt, Du kannst sie in die HNF umformen. (Mit dem Kreuzprodukt smile