Normalparabeln verschieben

11.06.2012, 16:47

jackyundhannah

Normalparabeln verschieben

Meine Frage:
Wir haben gerade das Thema Normalparabeln und mir ist noch nicht ganz klar wie man Parabeln nach oben , nach rechts und nach Links verschiebt. Und woran man erkennt das man die Parabel überhaupt verschieben muss!

Danke schon mal!

Meine Ideen:
z.B bei: f(x)=x*x+2 im Buch steht das man dort nach oben (in Richtung der y-Achse) verschiebt!

11.06.2012, 19:20

thechus

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Hey,

(Ich erlaube mir mal aufgrund des Profilnamens den Plural)
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Parabel zweiten Grades lautet ja wie ihr vermutlich schon wisst:

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax² + bx + c \end{eqnarray*}$

Um genau zu wissen, wie die Parabel zu verschieben ist, solltet ihr die Scheitelpunktsform der Parabel bestimmen, aus denen man direkt ablesen kann, wo der Scheitelpunkt (also der tiefste bzw bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt der Parabel) liegt.
Man kann nämlich nciht immer direkt an der Funktion ablesen, wie die Parabel zu verschieben ist.

Allgemein gilt dabei:
Verschiebt man die Normalparabel so, dass der Scheitelpunkt die Koordinaten (-d,e) hat, so lautet die zugehörige Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x + d)² + e \end{eqnarray*}$

Nicht erschrecken! Das ist einfacher als es aussieht.

Wie man drauf kommt erklär ich mal schnell:

Angenommen wir haben die Funktion

$\begin{eqnarray*} (1) f(x) = x² - 6x + 4 \end{eqnarray*}$

Diese Funktion kann man einfach umschreiben, um den Scheitelpunkt abzulesen:

Dazu denkt man sich zunächst dir 4 hinten weg und schreibt:

$\begin{eqnarray*} (2) f(x) = x² - 6x \end{eqnarray*}$

Jetzt wird dieser Ausdruck "faktorisiert"* und daraufhin die entsprechende binomische Formel angewandt:

$\begin{eqnarray*} (x - 3)² \end{eqnarray*}$

*Man faktorisiert nicht wirklich. Man entfernt an das Quadrat und das x und teilt die vor dem x stehende Zahl durch 2. Dieser Ausdruck wird in eine Klammer geschrieben und quadriert)

$\begin{eqnarray*} (3) f(x) = x² - 6x + 9 \end{eqnarray*}$

Jetzt will man aber, dass (3) und (2) gleich sind. Also zieht man die 9 einfach ab. Somit gilt:

$\begin{eqnarray*} (x - 3)² - 9 = f(x) = x² - 6x + 9 - 9 = x² - 6x = (2) \end{eqnarray*}$

Und weil sie gleich sind kann man jetzt (x - 3)² - 9 in f(x) = x² - 6x + 4 ersetzen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x - 3)² - 9 + 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x - 3)² - 5 \end{eqnarray*}$

Dies nennt man jetzt die Scheitelpunktsform der Parabel, denn damit kann man den Scheitelpunkt direkt ablesen und wissen, wo die Parabel liegt.
Der Klammerausdruck wird quadriert und liefert somit immer einen positiven Wert. Daher hat die Funktion ihren niedrigsten Wert dann, wenn die Klammer gerade null ergibt.
In diesem Fall ist das x = 3. Der Wert hinter der Klammer gibt logischerweise den y-Wert an.

Ich hoffe das war verständlich,

Gruß,
thechus

11.06.2012, 20:12

Sherlock Holmes

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Zitat:

z.B bei: f(x)=x*x+2 im Buch steht das man dort nach oben (in Richtung der y-Achse) verschiebt!

Hallo,

$\begin{eqnarray*} x\cdot x = x^2 \end{eqnarray*}$

F(x)= x²+2

Das Rote beschreibt die Verschiebung auf der y-Achse

Und jetzt musst du wie Thechus schon sehr gut erklärt hat, einfach die Kordinaten ablesen. Bekanntlich nach dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} F(x)= (x+d)²+e \end{eqnarray*}$

Dann weißt du dass nur e, als y-Koordinate übrig geblieben ist.

11.06.2012, 23:16

Dopap

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RE: Normalparabeln verschieben

Zitat:

Original von jackyundhannah
Meine Frage:
[..] Und woran man erkennt das man die Parabel überhaupt verschieben muss!

eine Parabel ist eine Parabel! Da wird nichts verschoben!
Man könnte sich aber vorstellen dass die vorgegebene NormalParabel aus der Parabel y=x^2 durch 2 achsenparallele Verschiebungen entsteht.

das hat aber "techus" schon deutlich formuliert.

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Normalparabeln verschieben

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