Verschoben! Matrizen: Unendliche viele Lösungen, wenn Determinante 0

11.06.2012, 19:11

baoscience

Matrizen: Unendliche viele Lösungen, wenn Determinante 0

Meine Frage:
Zu lösen sei das Gleichungssystem Bx = d

$\begin{eqnarray*} <br /> B = \begin{pmatrix} 2 & -6\\ 1 & 3 \end{pmatrix}<br /> x = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} <br /> d = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Weshalb gibt es hierbei unendlich viele Lösungen?

x = \begin{pmatrix} 3 \alpha -1 \\ \alpha \end{pmatrix}

Meine Ideen:
Nach meinem Kenntnisstand gibt es bei Determinante = 0 entweder keine oder unendlich viele Lösungen

11.06.2012, 19:34

DP1996

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Ich versteh nicht, wie du darauf kommst, dass die Determinante 0 sei bzw. dass es unendlich viele Lösungen gäbe.

Ich hab raus, dass die Determinante 12 ist, die Matrix somit invertierbar ist und damit eine eindeutige Lösung existiert.

Außerdem sollte das besser in die Algebra verschoben werden.

11.06.2012, 20:18

baoscience

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RE: Matrizen: Unendliche viele Lösungen, wenn Determinante 0
bei B sollte unten links eine -1 stehen, womit es keine Determinante gibt.

Die Lösung sollte lauten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3a-1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.06.2012, 02:40

frank09

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RE: Matrizen: Unendliche viele Lösungen, wenn Determinante 0

Zitat:

Die Lösung sollte lauten:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3a-1 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind unendlich viele, weil du für a jeden Wert einsetzen kannst.
Genauer: die Lösung entspricht den Punkten auf einer Geraden, die sich als Lösungsvektor schreiben lässt:

$\begin{eqnarray*} L:\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}+ a\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

12.06.2012, 05:24

Kasen75

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Hallo baoscience,

du kannst die Lösung auch auf "traditionelle" Weise berechen:

$\begin{eqnarray*} 2x-6y=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -x+3y=1 \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieses Gleichungssystems entspricht der angegebenen Lösung.

Mit freundlichen Grüßen.

12.06.2012, 07:53

baoscience

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Sorry für das Unverständnis, aber wenn ich dieses Gleichungsystem auflöse, erhalte ich 0.

Was sind die Gedanken hinter der Lösung? Also welche Überlegung muss ich machen? Gibt es eine mathematische Herleitung oder muss ich "ausprobieren"?

12.06.2012, 11:20

hollisch

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Mein Vorschlag wäre (wenn du es mathematisch zeigen möchtest) den Ansatz von Kasen aufzugreifen. Zeige zuerst, dass die erste Gleichung in die Zweite überführbar ist. Löse dann mal nach x auf... vllt fällt dir dann was auf?!

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