Anfangswertaufgabe

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12.06.2012, 12:34	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertaufgabe Meine Frage: Wie löse ich diese Anfangswertaufgabe? $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{y(t)}{t} \end{eqnarray}$ y(1)=2 wobei y(t) die erste Ableitung ist! Brauch bitte hilfe! Meine Ideen: mhh
15.06.2012, 15:30	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ist denn die Gleichung $\begin{eqnarray} y^{\prime}=\frac{y(t)}{t} \ \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, dann kannst du schon mal für $\begin{eqnarray} y^{\prime} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dt} \end{eqnarray}$ schreiben. Mit freundlichen Grüßen.
15.06.2012, 15:44	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
ok habe ich ! und jetzt?
15.06.2012, 15:54	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielleicht schreibst du es auch hin. Jetzt das dt auf die rechte Seite und das y auf die linke Seite der Gleichung bringen.
15.06.2012, 15:59	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann steht es bei mir so! $\begin{eqnarray} \frac{dy}{yt}=tdt \end{eqnarray*}$
15.06.2012, 16:07	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr gut. Jetzt beide Seiten integrieren: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y} \, dy= \int \! t \, dt \end{eqnarray}$
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15.06.2012, 16:21	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
ok und welche grenzen nehme ich ? in der aufgabe steht noch y(1)=2 muss ich die nehmen??
15.06.2012, 16:24	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
sooo?? $\begin{eqnarray} \int_1^2 \! \frac{1}{y}dy \, \int_1^2 \! t \, dt \end{eqnarray}$
15.06.2012, 16:27	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe gerade gesehen, dass es so aussieht. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y} \, dy= \int \! \frac{1}{t} \, dt \end{eqnarray}$ Mach davon erstmal eine unbestimmte integration. Integrationskonstante nicht vergessen. Den Anfangswert kann man später verwenden.
15.06.2012, 16:33	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht was mit unbestimmte integration gemeint ist ? Sorry
15.06.2012, 16:38	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist ich gemeint habe, du suchst jeweils die Stammfunktion von f(y)=1/y und f(t)=1/t. Das müsstest du ja auch machen, wenn du Grenzen hättest.
15.06.2012, 16:48	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
soo???? $\begin{eqnarray} \int_ a^b\! \frac{x}{y}+c =\, \int_a^b \! \frac{x}{t} +c \end{eqnarray}$
15.06.2012, 16:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider nein. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{y} \, dy= \int \! \frac{1}{t} \, dt \end{eqnarray}$ nicht nach x integrieren. Auf der linken Seite nach y integrieren. Auf der rechten Seite nach t integrieren. Linke Seite: Du musst nur wissen, was die Stammfunktion von f(y)=1/y. Was könnte das sein?
15.06.2012, 16:57	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht?? log(y)
15.06.2012, 17:02	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt! Der Logarithmus hat dabei die Basis e (eulersche Zahl). Somit kann man schreiben (mit Integrationskonstanten) : $\begin{eqnarray} ln(y)+C_1=ln(t)+C_2 \end{eqnarray}$ Jetzt soweit wie möglich nach y auflösen. Ich würde damit anfangen, dass ich das $\begin{eqnarray} C_1 \end{eqnarray}$ auf die rechte Seite bringe.
15.06.2012, 17:07	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
dann kommt bei mir sowas raus? $\begin{eqnarray} y=\frac{ln(t)+c2-c1}{ln} \end{eqnarray}$
15.06.2012, 17:17	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
da bist du ein Schritt zu weit gegangen. $\begin{eqnarray} ln(y)=ln(t)+C_2-C_1 \end{eqnarray}$ Jetzt beide Seiten als Potenz von e schreiben. $\begin{eqnarray} e^{ln(y)}=e^{ln(t)+C_2-C_1} \end{eqnarray}$ Was für ein einfacher Ausdruck kommt auf der linken Seite heraus? Wie kann man die rechte Seite ander noch schreiben?
15.06.2012, 17:23	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Also auf der linken seite müsste y=1 Hinkommen??
15.06.2012, 17:34	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der anderen seite weis ich es nicht!!
15.06.2012, 17:42	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf jeden Fall steht da schon mal y. Richtig. Insgesamt ergibt sich: $\begin{eqnarray} y=e^te^{C_2-C_1} \end{eqnarray}$ Die beiden Integrationskonstanten kann man zusamenfassen zu: $\begin{eqnarray} y = e^t* e^C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^C \end{eqnarray}$ ist die Anfangswert. $\begin{eqnarray} y(t)=e^ty(0) \end{eqnarray}$ Mit der Bedingung $\begin{eqnarray} y(t)=y(1)=2 \end{eqnarray}$ kannst du jetzt den Anfangswert bestimmen.
15.06.2012, 17:46	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich jetzt 2 Für y(t) einsetzten und dann auflösen?
15.06.2012, 17:48	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Und t=1.
15.06.2012, 17:54	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
dann steht da: $\begin{eqnarray} \frac{2}{e^1} =y(0) \end{eqnarray}$ und a kommt ein wert von 0,7357... raus?
15.06.2012, 18:06	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Wie sieht dann die Funktion y(t) aus? Schreibe für 2/e auch 2/e.
15.06.2012, 18:10	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht villeicht so? y(t)=2/e*0,7357
15.06.2012, 18:18	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte eher so: $\begin{eqnarray} y(t)=\frac{2}{e}e^t \end{eqnarray*}$
15.06.2012, 18:23	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
wie komt man da drauf?
15.06.2012, 18:32	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben doch oben diese Gleichung gehabt: $\begin{eqnarray} y(t)=e^ty(0) \end{eqnarray}$ Dann hast du das hier bestimmt: $\begin{eqnarray} \frac{2}{e^1} =y(0) \end{eqnarray*}$ Jetzt nur noch einsetzen.
15.06.2012, 18:38	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
aso ok und so geht man immer bei so aufgaben vor? Auch bei der $\begin{eqnarray} y(t)=t^2\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ y(t) ist wieder die ableitung!
15.06.2012, 18:41	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip genauso. Die ersten Schritte bis zur Integration kennst du ja schon.
15.06.2012, 18:52	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht das dann so aus: $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y^2}=t^2yt \end{eqnarray*}$
15.06.2012, 18:58	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da stand ja $\begin{eqnarray} \sqrt{y} \end{eqnarray}$ Das ist das Gleiche wie: $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Wenn man das auf die linke Seite bringt steht dann insgesamt da: $\begin{eqnarray} y^{-\frac{1}{2}} dy = t^2 dt \end{eqnarray}$
15.06.2012, 19:18	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
sooo und jetzt wieder aufleiten ne?
15.06.2012, 19:21	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
ja.
15.06.2012, 19:33	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
kann es sein das der erste term rausfählt! und der ander sieht so aus $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} t^3+c \end{eqnarray}$
15.06.2012, 19:39	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Die rechte Seite ist richtig Aber auf der linken Seite verschwindet der Ausdruck $\begin{eqnarray} y^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ leider nicht so einfach. Auf jeden Fall ist ein $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ drin. Man muss jetzt nur bedenken, dass beim Ableiten der Exponent vor das y gezogen wird. Diesen Effekt muss man noch neutralisieren.
15.06.2012, 19:49	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
sooo? $\begin{eqnarray} -\frac{1}{1} y^0,^5 +c \end{eqnarray}$
15.06.2012, 20:09	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. So: $\begin{eqnarray} 2 \cdot y^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ Das Minuszeichen ist nicht notwendig. Da vor der Ableitung der Exponent noch positiv ist. Es wird $\begin{eqnarray} \ + \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ vor das y gezogen. Die 2 neutralisiert dann die $\begin{eqnarray} + \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Jetzt nach y auflösen. Entschuldigung. Hatte Verbindungsproblem.
15.06.2012, 20:28	Marcel 19	Auf diesen Beitrag antworten »
soo?? $\begin{eqnarray} y^0,5=\frac{\frac{1}{3}t^3+c2-c1 }{2} \end{eqnarray}$
15.06.2012, 20:35	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht schlecht. Bzw. gut. Ich schreibe etwas um: $\begin{eqnarray} y^{\frac{1}{2}}=1/6t^3 \end{eqnarray*}$ Den Anteil der Integrationskonstante hab ich erst mal weggelassen. Es ist und bleibt immer irgendein C. Jetzt nur noch quadrieren. Geh kurz Essen.

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