Median-Teststatistik

12.06.2012, 14:41

Gast11022013

Median-Teststatistik

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{m+1},\hdots,X_{N=m+n} \end{eqnarray*}$ zwei unabhängige Stichproben, wobei die $\begin{eqnarray*} X_i, i=1,\hdots,N=m+n \end{eqnarray*}$ unabhängig verteilt sind, die $\begin{eqnarray*} X_1,\hdots,X_m \end{eqnarray*}$ gemäß einer stetigen Verteilungsfunktion F und die $\begin{eqnarray*} X_{m+1},\hdots,X_N \end{eqnarray*}$ gemäß einer stetigen Verteilungsfunktion G. Die $\begin{eqnarray*} R_i \end{eqnarray*}$ sollen im folgenden für die Ränge stehen.
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1) Zeigen Sie, dass die Median-Teststatistik $\begin{eqnarray*} M=\sum_{i=m+1}^{N}b(R_i)\mbox{ mit }b_i=\begin{cases}1, & \mbox{falls }i>\frac{1}{2}(N+1)\\ 0, & \mbox{falls }i\leq\frac{1}{2}(N+1)\end{cases} \end{eqnarray*}$ für N gerade hypergeometrisch verteilt ist mit:

$\begin{eqnarray*} P_{H_0}(M=s)=\frac{\binom{\frac{N}{2}}{s}\binom{\frac{N}{2}}{n-s}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \max\left\{0,n-\frac{N}{2}\right\}\leq s\leq\min\left\{\frac{N}{2},n\right\} \end{eqnarray*}$

2) Zeigen Sie für N gerade: $\begin{eqnarray*} E_{H_0}(M)=\frac{n}{2}, \operatorname{Var}_{H_0}(M)=\frac{mn}{4(N-1)} \end{eqnarray*}$ .

3) Zeigen Sie, dass die Verteilung von M unter $\begin{eqnarray*} H_0 \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist für N gerade.

4) Leiten Sie die duale Form der Median-Teststatistik her.

Meine Ideen:
Hallo, obwohl das hier ja nicht so das Statistik-Forum zu sein scheint, habe ich diese Aufgabe mal gepostet und hoffe auf Antwort(en).

Bei 1) weiß ich gar nicht so recht, was man da eigentlich schreiben soll, weil ich finde, dass das eigentlich klar ist:

Unter der Nullhypothese handelt es sich ja um eine $\begin{eqnarray*} N=m+n \end{eqnarray*}$ - elementige Stichprobe. Wenn ich mir die Formel der hypergeometrischen Verteilung bei Wikipedia anschaue, so ist eben $\begin{eqnarray*} M=\frac{N}{2} \end{eqnarray*}$ , denn so viele Variablen können in der kombinierten Stichprobe bei geradem N größer als der Median dieser kombinierten Stichprobe sein, der eine Dezimalzahl ist, also ab der nächsten X-Stelle kann der Wert dann größer sein als der Median. Dann habe ich also $\begin{eqnarray*} \binom{\frac{N}{2}}{s} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, s Stück daraus zu wählen. Bleiben $\begin{eqnarray*} \binom{N-\frac{N}{2}}{n-s} \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten für die anderen Variablen, die kleiner/gleich dem Median sind. Das Produkt daraus steht also für die günstigen Möglichkeiten. Die dividiert man durch die Anzahl aller Möglichkeiten n Stück aus N Stück (ohne Zurücklegen) zu ziehen.

Was hat es mit den Grenzen für s auf sich?

Muss man da auch was beweisen?

Ich meine, es ist mir eigentlich klar: Nimmt man zum Beispiel $\begin{eqnarray*} m=3, n=7, N=10 \end{eqnarray*}$ , so kommen von den $\begin{eqnarray*} X_4,...,X_{10} \end{eqnarray*}$ nur maximal 5 Stück davon in Frage, um größer als der Median der gepoolten Stichprobe zu sein. Also kann s höchstens 5 sein. Außerdem ist s mindestens 2, denn angenommen, es fallen alle 5 möglichen Werte unter den Median und die 3 $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_3 \end{eqnarray*}$ über den Median, so bleiben immer noch 2, die man verteilen muss und die müssen also größer als der Median sein. Die anderen 5 Plätze sind ja schon "besetzt".

Naja, alles nicht so förmlich, aber dies wäre mein "Beweis" zu 1.)

Was sagt Ihr dazu?

2) ist klar, einfach bei den Formeln für Erwartungswert und Varianz einer hypergeometrischverteilten ZV nachschauen und einsetzen, fertig.

3) Wie weist man die Symmetrie nach?

Edit:

Ich habe gerade folgenden Satz im Skript gefunden:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}a_ib(R_i) \end{eqnarray*}$ und die Ränge seien gleichverteilt auf der Menge der ermutationen. Dann gilt: Falls für $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} b_i+b_{n+1-i}=c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_i+a_{n+1-i}=c \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}a_ib(R_i) \end{eqnarray*}$ symmetrisch um den Erwartungswert.

Das verstehe ich so, daß einer der Fälle ausreicht und das immer der gleiche konstante Wert herauskommen muss.
Naja, hier scheinen ja alle $\begin{eqnarray*} a_i=1 \end{eqnarray*}$ zu sein, also $\begin{eqnarray*} a_i+a_{n+1-i}=2~\forall 1\leq i\leq n \end{eqnarray*}$ .

Also würde ich sagen: Symmetrisch um den Erwartungswert.
Korrekt?

Ich könnte aber auch das so machen:

Sei $\begin{eqnarray*} b(i)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} i\leq\frac{N+1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow N-i+1\geq N-\frac{N+1}{2}+1=\frac{N+1}{2} \end{eqnarray*}$ und da N gerade ist, gilt sogar nicht nur $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ . Also $\begin{eqnarray*} b(N-i+1)=1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} b(i)+b(N-i+1)=0+1=1 \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} b(i)=1 \end{eqnarray*}$ , folgt analog $\begin{eqnarray*} b(N-i+1)<\frac{N+1}{2} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b(N-i+1)=0, b(i)+b(N-i+1)=1 \end{eqnarray*}$ . Also kommt auch hier 1 heraus.

(Daß N gerade ist, benötigt man hier also meines Erachtens für die erste Summe, damit da 1 herauskommt.)

Das wäre mein Beweis der Symmetrie (um den Erwartungswert, der bei geradem N n/2 beträgt).

4) Wie lautet denn die duale Form? Kennt die jemand?

13.06.2012, 12:06

Gast11022013

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RE: Median-Teststatistik
Wie ich befürchtet habe: keine Antworten. verwirrt

Na gut.

Kennt denn vielleicht jemand ein Forum, wo man mit Fragen aus der Nichtparametrik weiterkommt?

13.06.2012, 12:37

kürzewürze

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warum hast du dir so viel mühe gemacht einen so langen text zu tippen?

die meisten werden zu faul sein sich das alles durchzulesen.

Du kannst ja auch mal bei **** vorbeischauen.

****edit von sulo: Reklame entfernt.

13.06.2012, 12:50

Gast11022013

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Zitat:

Original von kürzewürze
warum hast du dir so viel mühe gemacht einen so langen text zu tippen?

Weil ich denke, daß das nötig ist, damit meine Frage auch klar wird.

13.06.2012, 14:43

Dopap

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@Dennis2010: eventuell ist es besser das Ganze in Happen aufzuteilen.
Eine zu lange Frage kann auch abschreckenden Charakter haben.
Manchmal ist es auch eine Zeitfrage.

13.06.2012, 22:30

Titti-Onan

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edit von sulo: Spambeitrag entfernt.

13.06.2012, 22:45

Gast11022013

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Meine Absicht war es ncht, die Qualität dieses Forums zu thematisieren. Mir wurde hier schon so oft geholfen, daß die Qualität dieses Forums außer Diskussion fest steht.

Ich bin frustriert und entsetzt, daß meine Frage nach einer anderen Seite, die mit Statistik/ Nichtparametrik mehr befasst ist, zu solch dummen Spambeiträgen führt. unglücklich

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