Strukturen / Mengen

12.06.2012, 16:09	seldon	Auf diesen Beitrag antworten »
Strukturen / Mengen Hallo! Bei dem letzten Beispiel zur Prüfungsvorbereitung bin ich noch auf ein Problem gestoßen Angabe: $\begin{eqnarray} (P(M),\cup,\cap,^{C}), M = \left\{3,5,7\right\} \end{eqnarray}$ (a) Geben Sie die neutralen Elemente bezüglich $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ an. (b) Geben Sie in einer Tabelle alle Inverse zu jedem Element bezüglich $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ an. Lösung: $\begin{eqnarray} P(M) = \left\{ \left\{\right\}, \left\{3\right\}, \left\{5\right\}, \left\{7\right\}, \left\{3,5\right\}, \left\{3,7\right\}, \left\{5,7\right\}, \left\{3,5,7\right\} \right\} \end{eqnarray}$ (a) neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left\{\right\} \end{eqnarray}$ ... denn $\begin{eqnarray} A \cup \left\{\right\} = A \end{eqnarray}$ neutrales Element bezüglich $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left\{3,5,7\right\} \end{eqnarray}$ ... denn $\begin{eqnarray} A \cap \left\{3,5,7\right\} = A \end{eqnarray}$ (b) Hilfe, hier ist mein Problem! Nennt man das inverse Element $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und nimmt die in (a) bestimmten neutralen Elemente, so muss ja gelten: $\begin{eqnarray} A \cup i = \left\{\right\} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} A \cap i = \left\{3,5,7\right\} \end{eqnarray}$ Aber ich sehe beim besten Willen kein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ , mir fällt nicht einmal irgendein mögliches $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ ein, für das dies zutreffen würde. Außerdem ist mir nicht klar, was dieses $\begin{eqnarray} ^{C} \end{eqnarray}$ in der Angabe $\begin{eqnarray} (P(M),\cup,\cap,^{C}) \end{eqnarray}$ bedeutet. Wäre sehr dankbar für Hilfe! LG
12.06.2012, 18:27	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Strukturen / Mengen $\begin{eqnarray} ^{C} \end{eqnarray}$ steht für die Komplementbildung.
12.06.2012, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt nicht ein inverses Element für alle Elemente. Es muss für jedes Element die Menge der dazu inversen Elemente bestimmt werden.
12.06.2012, 20:38	seldon	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Gut zu wissen mit der Komplementbildung. Für die Aufgaben ist das also irrelevant. Ok. Dann gibt es also, so wie ich das sehe, nur jeweils ein Element aus $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ für das ein inverses Element $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ gefunden werden kann, um durch $\begin{eqnarray} \cup \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ auf das neutrale Element $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu kommen. Und zwar: $\begin{eqnarray} \left\{\right\} \cup i = n = \left\{\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow i = \left\{\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\{3,5,7\right\} \cap i = n = \left\{3,5,7\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow i = \left\{3,5,7\right\} \end{eqnarray}$ Und für alle anderen Elemente aus $\begin{eqnarray} P(M) \end{eqnarray}$ gibt es kein inverses Element. So ganz sicher bin ich mir noch nicht, weil die geforderte Tabelle dann ziemlich leer ist. LG
14.06.2012, 17:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so, die Suche nach inversen Elementen ist hier nicht sehr ergiebig. Gruppen geben da mehr her, also freue dich auf Gruppentheorie.

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