Beweise mit Vektoren

09.07.2004, 19:08

Bassai

Beweise mit Vektoren

Hallo,

Ich bitte um Hilfe! Ich muss in Mathe eine GFS halten über "Beweise mit Vektoren", leider check ich da nicht mehr durch unglücklich

Kann mir jemand bei folgenden Aufgaben helfen?

1. Sind in einem Parallelogramm die Diagonalen gleich lang, dann ist das Parallelogramm ein Rechteck.

2. Sind in einem Parallelogramm die Diagonalen orthogonal, dann ist das Viereck eine Raute.

3. IN einem ebenen Viereck mit 2 Paaren benachbarter gleich langer Seiten (Drachen), sind die Diagonalen orthogonal.

09.07.2004, 19:36

Leopold

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Nennen wir das Parallelogramm wie üblich ABCD, dann wird es von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u} \ = \ \vec{AB}, \ \vec{v} \ = \ \vec{AD} \end{eqnarray*}$ aufgespannt. (Zeichne eine entsprechende Figur.)

Du mußt dir nun überlegen:

1. Wie drücke ich die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \vec{BD} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \vec{v} \end{eqnarray*}$ aus? (Das ist ganz elementar.)

2. Was heißt es nun, daß $\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \vec{BD} \end{eqnarray*}$ gleich lang sind?

3. Was heißt es, daß ABCD ein Rechteck ist?

Wie bekomme ich 3. aus 2.?

09.07.2004, 20:13

Bassai

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OK Danke,
über ein konkretes Beispiel würde ich mich auch freuen! (Ich bin nicht so gut in Mathe)

Ich habe noch eine Frage zu 2. :
(Sind in einem Parallelogramm die Diagonalen orthogonal, dann ist das Viereck eine Raute)

Darf ich das einfach umdeuten, also Ist das Viereck eine Raute, so sind die Diagonalen orthogonal? Oder darf ich das nicht?

(wenn ja, könnte ich es ja so machen:
Die Diagonalen ersetzte ich durch AB und AD
und dann Skalarprodukt machen)

09.07.2004, 21:55

Leopold

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Daß in einer Raute die Diagonalen orthogonal sind, ist zwar auch richtig. Das sollst du aber nicht zeigen. Du sollst zeigen:

WENN
in einem Parallelogramm die Diagonalen orthogonal sind,

DANN
ist das Parallelogramm eine Raute.

Zurück zur ersten Aufgabe.
Beginne damit, die diagonalen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AC}, \ \vec{BD} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \ \vec{v} \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Verwende dann das Skalarprodukt, um auszudrücken, daß diese Vektoren gleich lang sind.

09.07.2004, 22:06

Bassai

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gut, die erste Aufgabe habe ich!!

aber für die 2. und 3. fehlen mir die nötigen Ansätze. Ich habe lange überlegt, aber ich komm nicht drauf, wies aussehen muss....

Wenn du mir da nochmal weiterhelfen könntest würde ich mich sehr freuen!!!

10.07.2004, 13:40

Bassai

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Danke für eure Hilfe, ich habe die beiden ersten Aufgaben gelöst!

Aber die 3. krieg ich einfach nicht hin! Ich sitzt schon ne Ewigkeit daran und komme nicht auf die lösung..

3. In einem ebenen Viereck mit 2 Paaren benachbarter gleich langer Seiten (Drachen), sind die Diagonalen orthogonal.

soweit habe ich es bis jetzt hinbekommen:
d und e sind die Diagonalen des Drachen, a,b,c,d die Seitenvektoren

Es muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \vec{d}*\vec{e} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\vec{a}+\vec{c})*(\vec{a}-\vec{b}) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{a}^2-\vec{a}\vec{b}+\vec{a}\vec{c}-\vec{b}\vec{c}=0 \end{eqnarray*}$

und jetzt???????????? unglücklich

10.07.2004, 13:54

Leopold

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Das scheint mir gar nicht so einfach zu sein.

Nennen wir die gleich langen Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{u}, \ \vec{u'} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{v}, \ \vec{v'} \end{eqnarray*}$ , und zwar so, daß die gleich langen Vektoren vom selben Punkt wegzeigen.

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \vec{u}-\vec{u'} \ = \ \vec{v}-\vec{v'} \end{eqnarray*}$

Und du mußt zeigen: $\begin{eqnarray*} (\vec{u}-\vec{u'})(\vec{u}-\vec{v}) \ = \ 0 \end{eqnarray*}$

Multipliziere die linke Seite aus und ersetze $\begin{eqnarray*} \vec{u}^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{u'}^2 \end{eqnarray*}$ .
Klammere dann $\begin{eqnarray*} \vec{u'} \end{eqnarray*}$ so aus, daß die Klammer $\begin{eqnarray*} (\vec{u'}-\vec{u}) \end{eqnarray*}$ entsteht und ersetze sie (siehe oben) durch $\begin{eqnarray*} (\vec{v'}-\vec{v}) \end{eqnarray*}$ .
Multipliziere wieder aus und ersetze $\begin{eqnarray*} \vec{v'}^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \vec{v}^2 \end{eqnarray*}$ .
Klammere dann aus der ganzen Summe $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ aus. Die Klammer stellt dann den Nullvektor dar (siehe oben).

Schön ist das nicht, aber es funktioniert.
Vielleicht gelingt es dir ja, den Beweis zu vereinfachen.

10.07.2004, 14:03

Bassai

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danke, ich werds versuchen..

06.09.2005, 18:20

KimmeY

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@bassai:also die lösung zur dritten aufgabe kann ich dir sagen, falls das ganze noch aktuell ist

ich habe aber das problem mit der ersten aufgabe:
ich weiß:
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\vec{v}+\vec{u}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BD} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (\vec{v}-\vec{u}) \end{eqnarray*}$

aber was meinst du mit:

Zitat:

Verwende dann das Skalarprodukt, um auszudrücken, daß diese Vektoren gleich lang sind.

?? das versteh ich irgendwie nicht.

ich muss ja irgendwie zeigen dass wenn gilt: $\begin{eqnarray*} |(\vec{v}+\vec{u})| \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} |(\vec{v}-\vec{u})| \end{eqnarray*}$ dann soll $\begin{eqnarray*} \vec{v}*\vec{u}=0 \end{eqnarray*}$

nur leider kann ich irgendwie da keinen zusammenhang erkennen. wäre lieb wenn ihr mir das auch nochmal für ganz dumme leute erklärt Augenzwinkern

danke

06.09.2005, 19:44

KimmeY

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da ich nicht editieren kann: ich glaube ich habs auch so gelöst........ man manchmal hat man echt den totalen blackout unglücklich

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