Schreibweisen von einer komplex Zahlen

12.06.2012, 17:17

Haniballl

Schreibweisen von einer komplex Zahlen

Meine Frage:
Hallo,

in den komplexen Zahlen rechne ich meist mit der Polarkoordinatendarstellung.
Frage:
Sind beide der folgenden Varianten richtig?

Variante 1
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-4} =& \sqrt[4] {4 \cdot i^{2}} \sqrt[4]{-4} =& 4^{\frac{1}{4}} \cdot i^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Variante 2
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-4} =& \sqrt[4]{4(\cos(180°)+\sin(180°)\cdot i)} \sqrt[4]{-4} =& \sqrt[4]{4}(\cos(45°) +\sin(45°)\cdot i) \sqrt[4]{-4} =& 1+i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Natürlich ist das Resultat in Variante 2 viel schöner als das aus Variante 1. Mir geht es aber um das Prinzip.
Ich bin eigentlich der Meinung, dass man mit i rechnen kann wie mit einer normalen Variablen, wodurch auch das Resultat aus Variante 1 richtig wäre.

Danke schön fürs Antworten

Hanibal

12.06.2012, 20:42

MatheMama2012

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hey,

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$

kannst das ja mal zu Ende rechnen...

12.06.2012, 21:44

haniballl

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Hallo,

Danke schön für Deine Antwort!

$\begin{eqnarray*} i =& 1(\cos(90°) + \sin(90°)i) \sqrt{i} =& (\cos(45°) + \sin(45°)i) \sqrt{i} =& \frac{1}{\sqrt{2}}(1+i) \end{eqnarray*}$

Einsetzen ergibt also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{-4} =& \frac{\sqrt[4]{4}}{\sqrt{2}} \cdot (1+i) \sqrt[4]{-4} =& (1+i) \end{eqnarray*}$

Es führen also glücklicherweise beide Verfahren zum selben Ergebnis. Doch ist dies generell der Fall, d.h. kann man mit i immer ganz normal rechnen ?

Vielen Dank fürs Antworten
Hanibal

13.06.2012, 06:36

MatheMama2012

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ja du kannst i immer wie eine ganz normale variable behandeln. Du musst halt nur daran denken dass $\begin{eqnarray*} i^2 = -1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Gruß

13.06.2012, 08:14

original

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Zitat:

Original von MatheMama2012
hey,

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (1+i) \end{eqnarray*}$

kannst das ja mal zu Ende rechnen...

na ja - es soll Leute geben, die fragen, ob es sinnvoll ist, das Wurzelzeichen in C zu verwenden ..

also:
es gibt zwei Lösungen des Problemchens $\begin{eqnarray*} z^2 = i \end{eqnarray*}$

und es wird vier verschiedene Lösungen geben zu $\begin{eqnarray*} z^4 = - 4 \end{eqnarray*}$

verwirrt

13.06.2012, 12:37

MatheMama2012

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ja stimmt eindeutig ist die Wurzel nicht. Aber zumindest ist das Ergebnis von haniballl kein Widerspruch.

Meine Vormulierung war da etwas ungünstig. Du musst natürlich bei komplexen Wurzel bedenken, dass nicht alle Regeln, die man von reellen Wurzel kennt, funktionieren. Aber prinzipiell kannst du mit i umgehen als wäre es eine ganz "normal" Variable.

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