Jordansche Normalform

12.06.2012, 18:37	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordansche Normalform Seien $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ Endomorphismen auf einem endlich-dimensionalen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Zu zeigen ist: Sind $\begin{eqnarray} A_{f,X} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{g,X} \end{eqnarray}$ ähnlich für jede Basis $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so ist jede JNF von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ eine von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ und umgekehrt. Meine Beweisidee ist: Da ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom haben, folgt sofort, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ dieselben Eigenwerte haben. Ist nun $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} A_{f,Y} \end{eqnarray}$ eine Jordansche Normalform von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist, so existiert $\begin{eqnarray} S\in\operatorname{Gl(n;K)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A_{g,Y}=SA_{f,Y}S^{-1}\Leftrightarrow S^{-1}A_{g,Y}S=A_{f,Y} \end{eqnarray}$ . Da jede Matrix mit vollem Rang einen Basiswechsel induziert, existiert folglich eine Basis $\begin{eqnarray} Y' \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray} S^{-1}A_{g,Y}S=A_{g,Y'}=A_{f,Y}. \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} A_{f,Y'} \end{eqnarray}$ eine JNF von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Da die Bezeichnungen der Abbildungen willkürlich sind, ist auch der andere Teil der Aussage gezeigt. Kann man so argumentieren oder fehlt da was bzw. ist etwas falsch? Ich fühle mich mit der Jordanschen Normalform noch nicht so vertraut... PS: $\begin{eqnarray} A_{f,B} \end{eqnarray}$ bezeichnet die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ .

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