Anfragenproblem

13.06.2012, 09:10	Moeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfragenproblem Meine Frage: Hallo Leute Ich bin kürzlich auf eine Aufgabe gestoßen, die mich seither nicht mehr loslässt: Jemand ist bei einer Mitfahrerzentrale beschäftigt und koordiniert die Anfragen und Angebote. Jeden Tag treffen ca. 250 Anfragen ein. Momentan bieten sich 50 Fahrzeuge als potentielle Transportmittel in jeweils unterschiedliche Richtungen an. Ein Mitfahrer meldet sich bei dem Koordinator und dieser ordnet das richtige Fahrzeug zu. Der Fahrer eines (bestimmten) Fahrzeugs fragt nun den Koordinator, wie lange es etwa dauert, bis die restlichen vier Plätze in seinem Auto besetzt sind. Meine Ideen: Ich hätte die Aufgabe jetzt so verstanden, dass man die Anzahl der Anfragen für dieses eine Fahrzeug als binomialverteilt ansehen kann. Die Erfolgswahrscheinlichkeit liegt dann bei p=1/50. Mann müsste nun noch die Gesamtanzahl der Anfragen bestimmen, sodass die Binomialverteilung für genau 4 Erfolge (denn er will ja das Auto voll haben, also sollten nicht mehr oder weniger als 4 Anfragen auf dieses Auto fallen) einen Wert >=0,95 annimmt. Löse also die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \left(\frac{1}{50}\right)^4\cdot\left(\frac{49}{50}\right)^{n-4}\geq 0,95 \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass sich diese Ungleichung nicht lösen lässt, da die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Erfolge mit zunehmendem n zunächst auf ca. 0,2 steigt und dann wieder abfällt. Hat jemand eine Idee, wie sich das lösen lässt?
13.06.2012, 09:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du unterliegst da einem Irrtum, der leider sehr häufig bei Überlegungen zu Aufgaben dieser Art zu beobachten ist: Es geht doch nicht um die Wahrscheinlichkeit für genau 4 Anfragen für das Auto, sondern um mindestens (!!!) 4 Anfragen bei insgesamt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Anfragen.
13.06.2012, 13:37	Moeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber nach 4 Anfragen ist das Auto doch voll. Welchen Sinn macht es dann, die Wahrscheinlichkeit von 5,6,7... Anfragen mit einzubeziehen?
13.06.2012, 13:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, du verstehst es einfach nicht. Also ein erneuter Erklärungsversuch. Deine Rechnung mit "genau 4" bedeutet inhaltlich nämlich folgendes: Wenn 5 oder mehr der 250 Anfragen in die gewünschte Richtung gehen, sagt der Autofahrer: "Nö, ich fahre gar nicht - es sind mir zu viele Anfragen." Folgende zwei Aussagen sind äquivalent: (a) Es gibt einen Zeitpunkt $\begin{eqnarray} k\leq 250 \end{eqnarray}$ , so dass genau zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die vierte Anfrage für die gewünschte Richtung eingeht. (b) Von allen 250 Anfragen gehen mindestens vier in die gewünschte Richtung. Ich hoffe, irgendwann löst sich bei dir diese verflixte Denkblockade.
13.06.2012, 14:40	Moeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Das leuchtet ein. Besten Dank für das Durchbrechen meiner Denkblockade!

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