geometrische Reihe

13.06.2012, 14:23

1nstinct

geometrische Reihe

Hallo zusammen smile

Ich sitze gerade an einer Aufgabe und bin nach einigen Umformungen hier gelandet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^8 {e^{i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j}+e^{-i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j}}=2 \cdot \sum\limits_{k=1}^8 {cos (\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j \in \left\{ 1,..,7\right\} \end{eqnarray*}$ ist fest.

Nun muss ich zeigen (mit hilfe einer endlichen geometrischen Reihe), dass

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^8 {e^{i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j}+e^{-i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j}}=2 \cdot \sum\limits_{k=1}^8 {cos (\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j)}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Leider komme ich nicht mehr weiter. Ist dies mit dieser Summe überhaupt möglich, oder habe ich bereits beim Umformen Fehler gemacht?

Danke schomal smile

Edit: Entschuldigt bitte, ich habs in falsche Forum gepostet unglücklich

Vielleicht könnte ihn ja jemand verschieben , danke.

13.06.2012, 18:53

decrux

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RE: geometrische Reihe
das mit dem 2j im kosinus stimmt schon nicht, dann hast du nur noch den cos(pi/4*k-pi/8).
evt. lässt sich dann noch was mit additionstheoremen drehen und dann kommt vielleicht irgendwie q^k worauf du dann die geom. reihe anwenden kannst.

13.06.2012, 19:19

1nstinct

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RE: geometrische Reihe
Es geht darum, zu zeigen, dass dies für jedes $\begin{eqnarray*} j \in \left\{1,..,7 \right\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Was meinst du mit

Zitat:

das mit dem 2j im kosinus stimmt schon nicht

?

Meinst du damit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^8 e^{i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j}+e^{-i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2j}=\sum\limits_{k=1}^8 e^{i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2}2)}+e^{j}+e^{-i\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2}+e^{j}=2 \cdot \sum\limits_{k=1}^8 {cos (\frac {\pi }{8}(k-\frac {1}{2})2)}+2e^{j}=32e^{j}\sum\limits_{k=1}^8 {cos (\frac {\pi }{4}(k-\frac {1}{2}))} \end{eqnarray*}$

Gruß

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