Transformation einer Variablen (Gauss-Copula-Modell)

13.06.2012, 15:48

Suchender

Transformation einer Variablen (Gauss-Copula-Modell)

Hallo Freunde,

ich versuche derweil ein Modell zur Berechnung von Ausfallwahrscheinlichkeiten von Krediten nachzuvollziehen. Mir ist jedoch ein mathematischer Teil nicht ganz klar weshalb ich mich an euch wende. Ich werde versuchen alles nachvolziehbar zu erklären, wenn ein Part unverständlich sein sollte werde ich natürlich weitere Erklärung leisten.

Es geht eigentlich nur um die Transformation einer Variablen, um eine multivariate Normalverteilung zu erhalten (Copula).

Ausgangsgröße ist die Variable $\begin{eqnarray*} D _{i} \in (0;\infty ) \end{eqnarray*}$ .
Sie gibt an zu welchem Zeitpunkt ein Unternehmen i insolvent wird.

Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} D _{i} \end{eqnarray*}$ nicht normal $\begin{eqnarray*} (-\infty ;\infty) \end{eqnarray*}$ ist.

Um diesen Zustand herzustellen, werden eben zwei Transformationen vorgenommen. Ich verstehe diesen Teil noch nicht ganz, habe aber eine Intuition. Ich hoffe ihr könnt Klarheit schaffen.

Die Insolvenzwahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt t ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} P(D _{i} \leq t) = 1 -e^{-\lambda _{i}t } \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ eine Konstante für jedes Unternehmen i ist.

Nun lässt sich Insolvenzwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(D _{i} \leq t) \end{eqnarray*}$ durch die kumulative Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_{i}(t) \end{eqnarray*}$ darstellen, da gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq x) = F(x) \end{eqnarray*}$

Soviel zum Verständnis des Modells. Die eigentliche Frage kommt jetzt, sie ist rein mathematischer Natur, d.h. evtl. braucht man das oben geschriebene gar nicht um sie beantworten zu können.

$\begin{eqnarray*} F_{i}({D _{i}}) \end{eqnarray*}$ ist gleichmäßig LN verteilt auf [0;1] (original: uniform LN distributed on [0;1]).

Ich weiß was eine Gleichverteilung ist. Sie hat auf einem Intervall eine konstante Wahrscheinlichkeitsdichte. Aber was denn eine LN Gleichverteilung?

Dadurch, dass $\begin{eqnarray*} F_{i}({D _{i}}) \end{eqnarray*}$ "LN gleichverteilt" ist, lassen sich daraus standardnormalverteilte Zufallszahlen indem man es wie folgt transformiert:

$\begin{eqnarray*} U_{i} \equiv N^{-1}( F_{i}({D _{i}}) ) \end{eqnarray*}$ proportional zu $\begin{eqnarray*} N(0;1) \end{eqnarray*}$ .

Also meiner Intuition nach wird folgendes gemacht ("Mein Lösungsvorschlag"):

Ich habe eine Variable $\begin{eqnarray*} D _{i} \end{eqnarray*}$ , die nicht normalverteilt ist. Ich möchte aber normalverteilte Werte. Also rechne ich im ersten Schritt die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt der einzelnen Variablen mit Hilfe der kumulativen Verteilungsfunktion aus.
Danach nehme ich die errechneten Wahrscheinlichkeitswerte und schaue nach, welchen x-Wert ich auf der Normalverteilungsfunktion erhalten würde, wenn ich die oben berechnete Wahrscheinlichkeit unterstelle.

Soviel zu meiner Intuition. Ich hoffe jemand kann es nachvollziehen und mir sagen ob das soweit stimmt.

Mich würde insbesondere auch interessieren was mit "uniform LN distributed on (0;1)" bedeutet und inwiefern das für diese Transformation von Bedeutung ist.

Hoffe ich habe meine Gedanken verständlich ausgedrückt und bedanke mich fürs lesen.

Viele Grüße,

13.06.2012, 16:24

HAL 9000

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RE: Transformation einer Variablen (Gauss-Copula-Modell)
Ich verstehe dieses LN an der Stelle auch nicht, aber inhaltlich kann ich soviel sagen:

Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stetig verteilt, d.h. mit einer stetigen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(x)= P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} Y=F_X(X) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße, die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt ist.

D.h., es macht alles Sinn, wenn du dieses "LN" schlicht streichst!

Und mit Normalverteilung hast das nicht das geringste zu tun - deine $\begin{eqnarray*} F_i \end{eqnarray*}$ sind Verteilungsfunktionen von Exponentialverteilungen. Der zweite Teil deiner Ausführungen beschreibt schlicht die Inversionsmethode, die hier gerade wegen der [0,1]-Gleichverteilung von $\begin{eqnarray*} F_i(D_i) \end{eqnarray*}$ angewandt werden kann.

13.06.2012, 20:19

Suchender

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Ich denke das LN ist auf jeden Fall falsch, das macht überhaupt keinen Sinn. Ich habe mir auch die Inversionsmethode angeschaut. Das Verfahren kannte ich noch nicht und es hat mir sehr weitergeholfen die Problematik zu verstehen. Dafür danke ich schonmal.

Ich habe allerdings noch eine Verständnisfrage bzgl. der Bedeutung von " stetig gleichverteilt". Ich bin davon ausgegangen, dass dies bedeutet das jedes Intervall von F die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweist. Aber das ist doch bei einer kumulierten Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} 1-e^{\lambda_{i} t} \end{eqnarray*}$ nicht gegeben. Sie müsste doch, falls jedes Intervall die selbe Wahrscheinlichkeit hat, eine konstante Steigung haben.

Meine zweite Frage bezieht sich auf den Transformationsvorgang. Ich habe den Link zur Inversionsmethode durchgelesen. Dort werden aber in den Beispielen nur mit Hilfe der Verteilungsfunktion Zufallszahlen generiert. Die Verteilung wird jedoch nicht geändert.

In meinem Fall geht es ja um die Änderung der zugrunde liegenden Verteilung von exponential zu normalverteilt (wofür die Inversionsmethode ja konzipiert wurde). Ich will nur nochmal sicher stellen, dass ich das Vorgehen in meinem Fall - was wohl die Inversionsmethode ist- richtig verstanden habe:

Ausgehend von der Variablen $\begin{eqnarray*} D_{i} \end{eqnarray*}$ , die exponentialverteilt ist, wird geschaut welche Wahrscheinlichkeit/welches Quantil diese Zahl hat. Also $\begin{eqnarray*} F_{i} (D_{i} ) \end{eqnarray*}$ . Diese Wahrscheinlichkeit wird dann genommen und es wird die X Koordinate der entsprechenden Normalwahrscheinlichkeit dazu gesucht $\begin{eqnarray*} N^{-1} (F_{i} (D_{i} )) \end{eqnarray*}$

In meinen Unterlagen ist N wie folgt definiert:

N: kumulierte Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Danke für die Unterstützung

Viele Grüße,

13.06.2012, 21:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Suchender
Aber das ist doch bei einer kumulierten Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray*} 1-e^{\lambda_{i} t} \end{eqnarray*}$ nicht gegeben. Sie müsste doch, falls jedes Intervall die selbe Wahrscheinlichkeit hat, eine konstante Steigung haben.

Nochmal:

Zitat:

Original von HAL 9000
Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stetig verteilt, d.h. mit einer stetigen Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(x)= P(X\leq x) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} Y=F_X(X) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße, die auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt ist.

Wie ich oben schon sagte bedeutet das, dass zwar nicht $\begin{eqnarray*} D_i \end{eqnarray*}$ , wohl aber $\begin{eqnarray*} F_i(D_i) \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt auf [0,1] ist!

Was also den zweiten Teil deiner Ausführungen betrifft ist es nach diesen Vorüberlegungen hinsichtilich der Verteilung völlig gleichwertig, ob man nun $\begin{eqnarray*} N^{-1} (F_{i} (D_{i} )) \end{eqnarray*}$ betrachtet oder stattdessen gleich $\begin{eqnarray*} N^{-1} (U) \end{eqnarray*}$ mit einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , die einer stetigen [0,1]-Verteilung unterliegt!!!

Es ist also folgende Berechnungskette in Gange:

exponentialverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} D_i \end{eqnarray*}$ ---> [0,1]-gleichverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} U:=F_i(D_i) \end{eqnarray*}$ ---> normalverteilte Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} N^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ , gemäß Inversionsmethode.

13.06.2012, 22:33

Suchender

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Danke HAL 9000, ich habe das Vorgehen jetzt verstanden.

Was ich nicht hundertprozentig verstanden habe ist, warum bei einer stetig verteilten Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion stetig gleichverteilt sein muss. Aber das nehme ich gerne als mathematisch gegeben hin.

Besten Dank nochmal!

13.06.2012, 22:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Suchender
warum bei einer stetig verteilten Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion stetig gleichverteilt sein muss.

Die Verteilungsfunktion ist nicht "stetig gleichverteilt", sondern lediglich "stetig": Das ist schlicht und einfach die Definition einer stetigen Zufallsgröße.

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