Differentialgleichung, Temperatur Veränderung

13.06.2012, 17:48

Gamtja

Differentialgleichung, Temperatur Veränderung

Change in temperature in a bottle of wine $\begin{eqnarray*} \Im = 4°C \end{eqnarray*}$ , is brought into a room whose temperature is $\begin{eqnarray*} \Im u = 23°C \end{eqnarray*}$ . Ten minutes later the wine-temperature is 7°C. The change of wine-temperature is proportional to the difference of wine-temperature and room-temperature.

How long does it take until the wine-temperature is practically 17°C?

Also soweit ichs verstanden habe, soll ich erstmal die Gleichung für Den Wein in abhängigkeit der Zeit aufstellen. Und dann nach t umformen oderso ..

$\begin{eqnarray*} \Im (t) \end{eqnarray*}$ = ?

$\begin{eqnarray*} t = ? \end{eqnarray*}$

Nur weiß ich nicht wie man da jetz anfängt.

Erklärungen zu dem Thema finde ich nur bei den einfachen Bespielen für z.B $\begin{eqnarray*} y' + y = x \end{eqnarray*}$ .

13.06.2012, 18:12

Mathe-Maus

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RE: Differentialgleichung, Temperatur Veränderung
Wie lautet die Formel der Newtonschen Abkühlungsfunktion (genannt auch Abkühlungsgesetz)?

LG Mathe-Maus

13.06.2012, 18:33

Gamtja

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$\begin{eqnarray*} T(t) = U0 + (T0 - U0) exp (-k(t - t0)) \end{eqnarray*}$

13.06.2012, 19:14

Mathe-Maus

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$\begin{eqnarray*} T(t)=U_{0}+(T_{0}-U_{0})\cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze die Werte zu gegebenen Zeitpunkten ein und berechne den Paramter k.

LG Mathe-Maus Wink

13.06.2012, 19:19

Gamtja

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Hm, ja aber die gleichung sollte ich ja selber aus dem Text schreiben und nicht abschreiben oder.

13.06.2012, 19:24

Mathe-Maus

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Wir haben bisher nur die ALLGEMEINE Gleichung.

a) Es sind noch keine Werte eingesetzt und der Parameter k ist auch noch nicht definiert.
b) Die Aufgabenstellung enthält eine Frage ... die durch anschließender Rechnung zu beantworten ist.

13.06.2012, 20:25

Mulder

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Zitat:

Original von Gamtja
Hm, ja aber die gleichung sollte ich ja selber aus dem Text schreiben und nicht abschreiben oder.

Du kannst natürlich das Ganze auch ganz von vorne als DGL modellieren, aber wenn dir dieses Abkühlungsgesetzt bereits bekannt ist, erscheint mir das etwas redundant. Wenn doch, steckt der entscheidende Hinweis eben hier:

Zitat:

Original von Gamtja
The change of wine-temperature is proportional to the difference of wine-temperature and room-temperature.

Was bedeutet, wenn y(t) jetzt die Temperatur des Weines zum Zeitpunkt t bezeichnet:

Die Änderung y'(t) ist proportional zur Differenz von 23 Grad und y(t). Also, mit irgendeiner Proportionalitätskonstanten k:

$\begin{eqnarray*} y'(t) = k(23-y(t)) \end{eqnarray*}$

Da hast du deine DGL, die du nun lösen kannst.

Aber die Herleitung dieses Abkühlungsgesetzes wird genau so gemacht, insofern ist das eigentlich eine Arbeit, die man nicht mehr machen muss.

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