Restklassenringe und die Menge aller Quadrate

13.06.2012, 17:51	Raspberry	Auf diesen Beitrag antworten »
Restklassenringe und die Menge aller Quadrate Meine Frage: Hallo, in einer Übungsaufgabe betrachten wir die Restklassenringe $\begin{eqnarray} Z_n, n \geq 2 \end{eqnarray}$ und die Menge aller Quadrate $\begin{eqnarray} S_n \subseteq Z_n \smallsetminus \left\{ 0 \right\} \end{eqnarray}$ . Dabei haben wir $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ und dazu analog die Nichtquadrate $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} S_n = \left\{ a \in Z_n \smallsetminus \left\{ 0 \right\} \| \text{ es gibt ein x} \in Z_n, \text{sodass} x^2 \equiv \text{a mod n} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_n = \left\{ a \in Z_n \smallsetminus \left\{ 0 \right\} \| \text{ es gibt kein x} \in Z_n, \text{ sodass } x^2 \equiv \text{a mod n} \right\} \end{eqnarray}$ Man soll nun die beiden Mengen $\begin{eqnarray} S_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_{11} \end{eqnarray}$ explizit angeben Meine Ideen: Nach Definition von $\begin{eqnarray} x \equiv y \text{ mod } n \end{eqnarray}$ gilt für die Aufgabe: $\begin{eqnarray} n \| (x^2 - a) \end{eqnarray}$ . Also hab ich eine Tabelle wie folgt erstellt: x \| 1 \| 2 \| 3 \| 4 \| 5 \| 6\| 7 \| 8 \| 9 \| 10 ---------------------------------------- x^2 mod n \| 1 \| 4 \| 9 \| 5 \| 3 \| 3 \| 5 \| 9 \| 4 \| 1 Jetzt weiß ich aber gerade nicht weiter. Nach der (vorhandenen) Lösung gilt für $\begin{eqnarray} S_{11} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T_{11} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S_{11} = \left\{ 1,3,4,5,9\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{11} = \left\{ 2,6,7,8,10\right\} \end{eqnarray}$ Aber wieso ist das so? Ich verstehe die Lösung (nebst Lösungsweg) einfach nicht.
13.06.2012, 19:16	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Restklassenringe und die Menge aller Quadrate Naja, $\begin{eqnarray} S_{11} \end{eqnarray}$ ist ja nach Definition nichts anderes als das Bild der Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb{Z}_{11}^ \to \mathbb{Z}_{11}^* \text{ mit } x\mapsto x^2 \mod 11 \end{eqnarray}$ während $\begin{eqnarray} T_{11} \end{eqnarray}$ - wieder nach Definition - die Komplementärmenge in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{11}^* \end{eqnarray*}$ dazu ist...

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