Vektorraum und Unter(vektor)raum

14.06.2012, 09:16

MatheMushroom

Vektorraum und Unter(vektor)raum

Meine Frage:
Hallo zusammen

Kurze die Gegebenheit: Sei:
$\begin{eqnarray*} P^{m} = \{p(x) = a_0+a_1*x+ \cdots a_m*x^m:a_0,...,a_m \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

Ich muss nun entscheiden ob folgende Teilmengen Unterräume von $\begin{eqnarray*} P^1 \end{eqnarray*}$ sind:

I: $\begin{eqnarray*} Q_1 = \{ p \in P^1: p(0)+p(1) \geq 0 \} \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} Q_2 = \{ p \in P^1: p(0)=p(1) \} \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} Q_3 = \{ p \in P^1: p(0)=1,p(1) = 1 \} \end{eqnarray*}$

Beim entscheiden bin ich leider noch nicht so sattelfest und hoffe ihr könnt mir vieleicht einen Tipp geben.

Meine Ideen:
Nun zu meinen Ansätzen:

zu I:
Ich hab ich einfach mal die Addition aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} p(0) + p(1) = (a_0) + (a_0+a_1) = 2*a_0 + a_1 \end{eqnarray*}$ .
Hier zu habe ich mir überlegt, dass dies kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} P^1 \end{eqnarray*}$ sein kann, da $\begin{eqnarray*} 2*a_0 \end{eqnarray*}$ drin vorkommt.

zu II:
Ich nehem an, $\begin{eqnarray*} p,q \in Q_2 \end{eqnarray*}$ . Dann sollte gelten:
$\begin{eqnarray*} (p+q)(0) = p(0)+q(0) = p(1)+ q(1) = (p+q)(1) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \forall \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ habe ich:
$\begin{eqnarray*} (\alpha*p)(0) = \alpha*(p(0)) = \alpha*(p(1)) = (\alpha*p)(1) \end{eqnarray*}$ .
Somit habe ich hier einen Unterraum, da Addition und die skalare Multiplikation gelten.

zu III:
hier denke ich, dass es kein Unterraum ist,da das Nullpolynom nicht Teil der Menge $\begin{eqnarray*} Q_3 \end{eqnarray*}$ ist, da das Nullpolynom nie den Wert 1 annehmen kann. Wie ich das jedoch formal begründen kann ist mir nicht klar.

Was sagt ihr zu diesen Ansätzen. Sind sie völlig am Ziel vorbei geraten oder befinde ich mich auf dem richtigen Weg?

Ich bedanke mich jetzt schon recht herzlich für eure Hilfe.

Gruss

MatheMushroom

14.06.2012, 12:13

Mazze

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Zitat:

zu I: Ich hab ich einfach mal die Addition aufgeschrieben: $\begin{eqnarray*} p(0) + p(1) = (a_0) + (a_0+a_1) = 2*a_0 + a_1 \end{eqnarray*}$ . Hier zu habe ich mir überlegt, dass dies kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} P^1 \end{eqnarray*}$ sein kann, da $\begin{eqnarray*} 2*a_0 \end{eqnarray*}$ drin vorkommt.

Das ergibt keinen Sinn. $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ ist die Menge der Polynome vom Grad 1 , so dass die Summe von p(1) und p(0) größergleich 0 ist. Damit $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist muss gelten :

$\begin{eqnarray*} p,q \in Q_1 \Rightarrow p + q \in Q_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p \in Q_1, \lambda \in \mathbb{K} \Rightarrow \lambda p \in Q_1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt überlegst Du ob die Bedingungen gelten oder nicht.

Zitat:

Ich nehem an, $\begin{eqnarray*} p,q \in Q_2 \end{eqnarray*}$ . Dann sollte gelten: $\begin{eqnarray*} (p+q)(0) = p(0)+q(0) = p(1)+ q(1) = (p+q)(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ habe ich:

Richtig!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\alpha*p)(0) = \alpha*(p(0)) = \alpha*(p(1)) = (\alpha*p)(1) \end{eqnarray*}$ . Somit habe ich hier einen Unterraum, da Addition und die skalare Multiplikation gelten.

Falsch, es ist

$\begin{eqnarray*} (\alpha p)(0) = \alpha a_0 \neq \alpha a_1 + \alpha a_2 = (\alpha p)(1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

hier denke ich, dass es kein Unterraum ist,da das Nullpolynom nicht Teil der Menge $\begin{eqnarray*} Q_3 \end{eqnarray*}$ ist, da das Nullpolynom nie den Wert 1 annehmen kann. Wie ich das jedoch formal begründen kann ist mir nicht klar.

Mehr Begründung ist gar nicht nötig. Das ist ausreichend dafür, dass es sich nicht um einen Unterraum handelt.

14.06.2012, 14:17

MatheMushroom

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Hey Mazze, erst mal danke für die rasche antwort.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p,q \in Q_1 \Rightarrow p + q \in Q_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (p+q)(0)+(p+q)(1) = p(0)+q(0)+p(1)+q(1) = \underbrace{p(0) + p(1)}_{\geq 0} + \underbrace{q(0) + q(1)}_{\geq 0} \geq 0 \end{eqnarray*}$
Somit gilt die Addition.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p \in Q_1, \lambda \in \mathbb{K} \Rightarrow \lambda p \in Q_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lambda p)(0) + (\lambda p)(1) = \lambda p(0) + \lambda p(1) \geq 0 \end{eqnarray*}$
Dies gilt aber nur falls $\begin{eqnarray*} \lambda \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber da es ja $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ gelten muss, ist $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ kein Unterraum.
Stimmt das so?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (\alpha p)(0) = \alpha a_0 \neq \alpha a_1 + \alpha a_2 = (\alpha p)(1) \end{eqnarray*}$

Hm... in diesem Fall ist, $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$ auch kein Unterraum. Dazu noch eine kurze Verständnissfrage:

Falls die Menge wie folgt definiert wäre:
$\begin{eqnarray*} Q_4 = \{ p \in P^1: p(-1))=p(1) \} \end{eqnarray*}$
Für die Addition würde sich nichts ändern, aber bei der Multiplikation würde dann gelten:
$\begin{eqnarray*} (\alpha*p)(-1) = \alpha*(p(-1)) = \alpha*(p(1)) = (\alpha*p)(1) \end{eqnarray*}$

Und dann wäre $\begin{eqnarray*} Q_4 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum. Lieg ich da richtig?

14.06.2012, 15:41

Mazze

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Zitat:

Dies gilt aber nur falls $\begin{eqnarray*} \lambda \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber da es ja $\begin{eqnarray*} \forall \lambda \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ gelten muss, ist $\begin{eqnarray*} Q_1 \end{eqnarray*}$ kein Unterraum. Stimmt das so?

Ja, richtig !

Zitat:

Und dann wäre $\begin{eqnarray*} Q_4 \end{eqnarray*}$ ein Unterraum. Lieg ich da richtig?

Man muss schon aufpassen, schon wenn man sich $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$ anschaut. Wir haben

$\begin{eqnarray*} p(x) = a_1x + a_0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p(0) = p(1) \end{eqnarray*}$
, daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} a_0 = a_1 + a_0 \Rightarrow a_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Die Polynome in $\begin{eqnarray*} Q_2 \end{eqnarray*}$ haben also die Form

$\begin{eqnarray*} p(x) = a \text{ für } a \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist dann natürlich

$\begin{eqnarray*} p,q \in Q_2 \Rightarrow p + q \in Q_2 , \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb{K},p \in Q_2 \Rightarrow \alpha p \in Q_2 \end{eqnarray*}$

Deine Begründung oben war einfach nur zu unpräzise da Du $\begin{eqnarray*} p(0) = p(1) \end{eqnarray*}$ nicht explizit beachtet hast.

14.06.2012, 16:05

MatheMushroom

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Hey Mazze

ich denke ich habe die ganze thematik jetzt besser verstanden und möchte mich bei dir ganz herzlich für die schnellen und guten antworten bedanken.

gruss
MatheMushroom

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