Definitions- und Lösungsmenge ermitteln

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14.06.2012, 14:57	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitions- und Lösungsmenge ermitteln Meine Frage: Hallo miteinander, kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen: Bestimmen Sie die Definitons- und Lösungsmenge folgender Gleichung in der Grundmenge G = IR. Die Gleichung lad ich als Bild hoch, da ich kein MikTeX habe. Meine Ideen: Ich fange zunächst an und bilde einen gemeinsamen Nenner. Erst mit der linken Seite und dann hol ich den Bruch von der rechten Seite auf die linke (mit Minus) und bilde erneut einen gemeinsamen Nenner. Erst dann kann ich doch die Definitionsmenge bestimmen oder? Irgendeine Rechenregel muss ich wohl oder übel vergewaltigt haben, da ich auf nix sinnvolles komme.
14.06.2012, 15:36	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definitions- und Lösungsmenge ermitteln Die Definitionsmenge kann man sofort ablesen. Das sind einfach die x, für die alle Brüche überhaupt definiert sind. Denk dran: Man darf nicht durch 0 teilen. Bestimme also die x, für die das bei keinem der drei Brüche passiert. Bei der Lösungsmenge ist das mit dem gleichen Nenner schon richtig. Und auch sehr einfach, denn denk dran: $\begin{eqnarray} x^2-4 = (x+2)(x-2) \end{eqnarray}$ nach der 3. binomischen Formel.
14.06.2012, 16:06	don14	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definitions- und Lösungsmenge ermitteln Mist die 3. Binomische Formel hab ich komplett übersehen Und die Definitionsmenge muss ich also für jeden Bruch einzeln bestimmen, versteh ich das richtig? Dann lag ich mit meiner Annahme also falsch ZUERST den gemeinsammen Nenner zu finden.
14.06.2012, 18:21	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand einen Tipp geben wie weiter vorzugehen habe?
14.06.2012, 18:25	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst alle Brüche für sich betrachten, musst am Ende aber alle Mengen zu einer Definitionsmenge zusammenwerfen. Beachte, dass du die Definitionsmenge der Gleichung als solches betrachtest! Eine Umformung (und eine mögliche Änderung der "Definitionsmenge") zählen nicht! Warte also besser, mit dem "Hauptnenner", in dem Falle, dass du die Def.menge ändern solltest, ohne es zu merken.
14.06.2012, 18:27	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat Mulder doch schon erklärt: Alle Werte, für die x=0, ermitteln, diese von der Menge der Reellen Zahlen abziehen. Die Lösungsmenge wird ermittelt, indem man die Ergebnisse mit der Definitionsmenge vergleicht. Liegt sie im erlaubten Bereich, i gibt es eine LM, sonst nicht.
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14.06.2012, 18:47	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definitionsmenge habe ich auch schon ermittelt ID = IR \ {2} Aber wie darf ich jetzt beim bestimmen des Hauptnenners vorgehen? Darf ich da jetzt aufgrund der 3. binomischen Formel x-2 rauskürzen?
14.06.2012, 18:50	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss weg, kann wer anderes übernehmen?
14.06.2012, 18:51	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Prinzip müsstest Du von jeden Nenner die Definitionslücken ermitteln und dann die alle aus Deiner Definitionsmenge rauswerfen. Allerdings kann man hier durch Umformen der Nenner sich das Leben wesentlich einfacher machen, weil man dann die Lücken ablesen kann. Danach ist es sinnvoll, den Hauptnenner zu bilden und darauf zu erweitern, und dann mit ihm auf beiden Seiten der Gleichung malzunehmen, so dass Deine Brüche entfallen. Wenn Du dann die Gleichung löst, musst Du am Ende nur beachten, dass Du überprüfst ob Deine Lösungen auch in der Definitionsmenge drin liegen. Grüße Martin
14.06.2012, 18:51	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem kgV . @Don14: Wir sollten noch einen Moment bei der Definitionsmenge verweilen. Was ist denn mit x=-2?
14.06.2012, 18:56	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe: 1.Bruch x²-4=0 x²=4 x=2 2. Bruch x-2=0 x=2 3.Bruch 4x-8=0 4x=8 x=2
14.06.2012, 18:58	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du die Wurzel ziehst, erhälst du zwei Lösungen! x²=1 x=+-1 Denn auch (-1)²=1! Mit den angesprochenen binomischen Formeln kann man es aber ohnehin leicht erkennen? $\begin{eqnarray} x^2-4 = (x+2)(x-2)=0 \end{eqnarray}$ Ein Produkt ist dann 0, wenn es min. ein Faktor ist. Also für entweder x=2 oder x=-2 . Dann ist das ja geklärt. Zeige einfach mal wie du weiter vorgehst . Edit: Ah Martin, gar nicht gesehen. Darfst gerne weitermachen .
14.06.2012, 19:08	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja wie schon gesagt. Versuche dann den gemeinsamen Nenner zu ermitteln und weiß jetzt nicht ganz ob ich dann einfach kürzen darf. (x²+4x)(x-2) _ (x+1)(x²-4) = 3 (x²-4)(x-2) 4x-8
14.06.2012, 19:11	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, hat sich alles etwas verschoben. (x²+4x)(x-2) - (x+1)(x²-4) =_ 3 _____(x²-4)(x-2)________ 4x-8
14.06.2012, 19:12	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hauptnenner, den Du gefunden hast, ist 4(x-2)(x+2), oder? Wenn ja, erweitere mal alle Brüche auf diesen Hauptnenner.
14.06.2012, 19:21	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, nee ich komm auf einen ganz anderen Hauptnenner. (x²-4)*(x-2) ist bei mir x³-2x-4x+8
14.06.2012, 19:34	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> \frac{x^{2}+4x}{x^{2}-4}-\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{4x-8}<br /> \end{eqnarray}$ kann man durch Faktorisieren der Nenner ja umwandeln in $\begin{eqnarray} <br /> \frac{x^{2}+4x}{(x+2)(x-2)}-\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{4(x-2)}<br /> \end{eqnarray}$ Damit wäre Dein Hauptnenner $\begin{eqnarray} 4(x+2)(x-2) \end{eqnarray}$ , da damit alle Terme, die in allen Nennern stehen, in diesem Hauptnenner drin stecken. Dein kleiner Fehler lag darin, den quadratischen Term $\begin{eqnarray} x^{2}-4 \end{eqnarray}$ komplett mit den anderen Nennern malzunehmen. Das ist aber nicht nötig, wie Du oben siehst. Wenn Du dann alle Brüche auf den gemeinsamen Hauptnenner gebracht hast durch Erweitern, nimmst Du einfach mit den Hauptnenner mal (als Äquivalenzumformung) und damit verschwindet der Nenner. Stimmen wir soweit überein? Grüße Martin
14.06.2012, 19:44	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mal nachgerechnet und ich bin mit dem Hauptnenner einverstanden Nur zum vergleich dann hab ich jetzt da stehen..: 4x²-16x-4x+1 = 0 4*(x+2)(x-2)
14.06.2012, 19:47	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Jetzt einfach mit dem Hauptnenner malnehmen, so dass er wegfällt, und alles was übrig bleibt ist der Zähler. Dann die verbleibenden Gleichung auflösen und aufpassen, ob die Lösungen in der Definitionsmenge liegen. Grüße Martin
14.06.2012, 20:44	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal schauen ob ich das auf die Reihe bekomme.. $\begin{eqnarray} \frac{x^{2}+4x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x+1}{x-2} = \frac{3}{4(x-2)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{4x^{2}-12x+4}{4(x+2)(x-2)} = 0 /4(x+2)(x-2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x^{2} -12x+4=0 \end{eqnarray*}$ Nein... ich kriegs nicht hin
14.06.2012, 21:04	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben ja: $\begin{eqnarray} \frac{x^{2}+4x}{(x+2)\cdot(x-2)}-\frac{x+1}{x-2}=\frac{3}{4\cdot(x-2)} \end{eqnarray}$ Also... erweitert auf den Hauptnenner: $\begin{eqnarray} \frac{4\cdot(x^{2}+4x)}{4\cdot(x+2)\cdot(x-2)}-\frac{4\cdot(x+1)\cdot(x+2)}{4\cdot(x-2)(x+2)}=\frac{3\cdot(x+2)}{4\cdot(x-2)\cdot(x+2)} \end{eqnarray}$ Danach rechnest Du die Zähler aus und fügst sie zusammen (Brüche mit gleichem Nenner) und multiplizierst danach mit dem HN damit der wegfällt. Wenn ich mich nicht versehen habe, bleibt eine lineare Gleichung über. Kommen wir ins Geschäft? Grüße Martin
14.06.2012, 21:22	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin wohl zu schwer von Begriff... kannst du mir mal den Schritt, in dem du den Hauptnenner findest, ausführlich zeigen? Grüße Don14
14.06.2012, 21:50	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Hauptnenner besteht aus allen Linearfaktoren, die in den Nennern vorkommen. Dein erster Bruch hat die Faktoren (x-2)(x+2). Die kommen beide in den Hauptnenner. Dein zweiter Bruch hat den Faktor (x-2). Den haben wir bereits beim ersten Bruch, also muss der nicht nochmal in den Hauptnenner. Dein dritter Bruch hat die Faktoren 4(x-2). Die 4 haben wir noch nicht, also kommt die 4 rein in den Hauptnenner. Die (x-2) haben wir schon vom ersten Bruch, brauchen wir also nicht nochmal. Am Ende haben wir also als Faktoren: 4(x+2)(x-2). Das ist der Hauptnenner, auf den wir alle Brüche erweitern, damit wir sie verrechnen können (weil man ja nur Brüche mit gleichem Nenner addieren oder subtrahieren darf). Bei der Suche nach dem Hauptnenner ist es immer sehr sinnvoll, die Nenner bereits komplett in Faktoren zerlegt zu haben, dann kann man einfacher sehen was man alles wie oft braucht im Hauptnenner. Klärt das die Hauptnenner-Sache?
14.06.2012, 21:51	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir leuchtet nicht ganz ein wie du kürzt. Um den gemeinsamen Nenner zu finden Multiplizier ich jeweils Zähler und Nenner mit dem Nenner vom anderen Bruch. Also: $\begin{eqnarray} \frac{(x²+4x)(x-2)[4(x-2)]}{(x+2)(x-2)(x-2)[4(x-2)]} -\frac{(x+1)(x+2)(x-2)[4(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-2)[4(x-2)]} =\frac{3(x+2)(x-2)(x-2)}{[4(x-2)](x+2)(x-2)(x-2)} \end{eqnarray}$ jetzt habe ich überall den selben Nenner und kann zusammenfassen. $\begin{eqnarray} \frac{(x²+4x)4}{(x+2)(x-2)4}-\frac{(x+1)(x+2)4}{(x-2)(x+2)4}=\frac{3(x+2)}{4(x-2)(x+2)} \end{eqnarray}$ ajjjjjjjjj und schon komm ich auf das selbe wie du -.- SORRRRY aber manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr Man man man ... Großen Dank für deine Geduld mit mir... Mit dir könnt man einen gehen
14.06.2012, 21:54	M@rtin	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Thema, gern geschehen. Vielleicht hilft Dir mein Post drüber noch etwas im Allgemeinen, der war nur Sekunden vor Deinem da. Den Trick, mit dem Nenner malzunehmen wenn die eine Seite der Gleichung 0 ist, kannst Du Dir merken für gebrochen-rationale Kurvendiskussionen in der Oberstufe ;-) Grüße Martin
14.06.2012, 21:58	Don14	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, das mach ich auf jeden Fall! Grüße, Don14

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