drei Tests

14.06.2012, 16:03	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
drei Tests Meine Frage: Ich kann es nicht lassen und poste noch eine Nichtparametrik-Frage. Ich versuche, mich so kurz wie möglich zu halten. ------ Es sei $\begin{eqnarray} m=n=10 \end{eqnarray}$ . Ferner seien $\begin{eqnarray} x_1,...,x_{10} \end{eqnarray}$ Beobachtungen aus einer Cauchy-Verteilung mit Lokationsparameter $\begin{eqnarray} \mu_1=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{11},...,x_{20} \end{eqnarray}$ aus einer Cauchy-Verteilung mit Lokationsparameter $\begin{eqnarray} \mu_2=3 \end{eqnarray}$ : Die Daten $\begin{eqnarray} x_i, i=1,...,10 \end{eqnarray}$ : -0.55 2.65 0,71 -7.54 -1.64 31.44 -1.06 -0.02 0.06 0.08 Die Daten $\begin{eqnarray} x_i, i=11,...,20 \end{eqnarray}$ : 9.58 3.24 5.18 1.78 -2.23 2.69 1.50 3.89 3.57 3.64 "Testen" Sie $\begin{eqnarray} H_0: \mu_1\leq\mu_2 \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} H_1: \mu_2>\mu_1 \end{eqnarray}$ zu den Niveaus $\begin{eqnarray} \alpha=0,01 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha=0,025 \end{eqnarray}$ . Vergleichen Sie den Wilcoxon-, den Median- und den van der Waerden-Test. Meine Ideen: Sei zunächst $\begin{eqnarray} \alpha=0,01 \end{eqnarray}$ . 1. Wilcoxon-Test Annahmen: (i) $\begin{eqnarray} x_1,\hdots,x_{10}\sim F, F\mbox{ Verteilungsfkt. Cauchyverteilung mit Lokationsparameter }\mu_1 \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} x_{11},\hdots,x_{20}\sim G, G\mbox{ Verteilungsfkt. Cauchyverteilung mit Lokationsparameter }\mu_2 \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} x_1,\hdots,x_{10},x_{11},\hdots,x_{20}\mbox{ unabhaengig} \end{eqnarray}$ (iv) (rechtsseitiges) Testproblem: $\begin{eqnarray} H_0: F(z)=G(z) \end{eqnarray}$ vs. $\begin{eqnarray} H_1: G(z)=F(z-\theta)~\forall~z\in\mathbb{R},\theta<0 \end{eqnarray}$ Für die Wilcoxon-Teststatistik ergibt sich: $\begin{eqnarray} W=\sum_{i=11}^{20}R_i=2+10+11+13+14+15+16+17+18+19=135 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} W=135<w_{1-\alpha}=2\mu-w_{0,01}=210-74=136 \end{eqnarray}$ . Damit kann die Nullhypothese nicht abgelehnt werden. 2. Van der Waerden-Test Unter den gleichen Annahmen wie bei 1. ergibt sich für die van der Waerden-Teststatistik: $\begin{eqnarray} X=\sum_{i=11}^{20}\Phi^{-1}\left(\frac{R_i}{21}\right)=\Phi^{-1}\left(\frac{2}{21}\right)+\hdots+\Phi^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)\approx 3,965<4,52=x_{1-\alpha}=x_{1-0,01} \end{eqnarray}$ Damit kann $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ nicht abgelehnt werden. 3. Median-Test Die Median-Teststatistik ergibt sich als: $\begin{eqnarray} M=\sum_{i=11}^{20}b(R_i)=b(19)+b(14)+b(18)+b(11)+\hdots+b(16)=8 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b_i=\begin{cases}1, & i>10,5\\0, & i\leq 10,5\end{cases} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} M\sim\mathcal{H}(10,10,20) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m_{1-0,01}=m_{0,99}=8 \end{eqnarray}$ , gilt also $\begin{eqnarray} M=x_{0,99}=8 \end{eqnarray}$ , d.h. die Nullhypothese kann abgelehnt werden. Fazit: Für $\begin{eqnarray} \alpha=0,01 \end{eqnarray}$ ergibt sich also, dass $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ für den Wilcoxon- und den van der Waerden-Test nicht abzulehnen ist, jedoch für den Median-Test ist die Nullhypothese zu verwerfen. Betrachte nun $\begin{eqnarray} \alpha=0,025 \end{eqnarray}$ . 1. Wilcoxon-Test $\begin{eqnarray} W=135>w_{1-0,025}=210-w_{0,025}=210-78=132 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ verwerfen 2. Van der Waerden-Test $\begin{eqnarray} X=3,965>3,86=x_{1-0,025} \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ verwerfen 3. Median-Test $\begin{eqnarray} M=8>m_{0,975}=7 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ verwerfen Bei einem Signifikanzniveau von $\begin{eqnarray} \alpha=0,025 \end{eqnarray}$ verwerfen also alle drei Tests die Nullhypothese. Vielleicht hat jemand ja Lust zu helfen. Grüße!

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