Partielle und totale Differenzierbarkeit

14.06.2012, 16:45	Gast619	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle und totale Differenzierbarkeit Hi, ich versuche gerade, die Begriffe partielle/totale Diff'barkeit und Stetigkeit zu verstehen. Nun will ich das für die Funktion $\begin{eqnarray} f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0,0)=0 \end{eqnarray}$ untersuchen. Die partielle Diff'barkeit ist soweit klar - die partiellen Ableitungen in (0,0) sind 0. Nun will ich zeigen, dass f nicht stetig partiell diff'bar ist. Dazu betrachte ich $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und sehe, dass das $\begin{eqnarray} \frac{y^3}{y^4} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y\to 0 \end{eqnarray}$ nicht gegen 0 (=die partielle Ableitung in (0,0)) konvergiert, daher ist die partielle Ableitung nicht stetig. Stimmt das? Jetzt zur (totalen) Diff'barkeit (im Ursprung): Der Fehlerterm der linearen Approximation sei $\begin{eqnarray} r(x,y) \end{eqnarray}$ . (Für \|h\| wähle ich die euklidische Norm) Wenn es eine lineare Abbildung gibt, die die Bedingungen der totalen Diff'barkeit erfüllt, dann muss es der Vektor der partiellen Ableitungen sein. (Warum?) So kann ich den Fehlerterm berechnen und stelle fest, dass $\begin{eqnarray} \frac{r(h)}{\|h\|}=\frac{\frac{xy}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} h\to (0,0) \end{eqnarray}$ nicht gegen 0 konvergiert , wenn ich entlang der Mediane $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ gehe. Das heißt, f ist nicht total diff'bar. Hätte es schon gereicht zu zeigen, dass f nicht stetig partiell diff'bar ist? Nevermind, auf wiki steht ein Gegenbeispiel $\begin{eqnarray} f(x,y)=(x^2+y^2)\sin \left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \end{eqnarray}$ . Ich lass das trotzdem stehen Andersrum (stetig partiell diff'bar impliziert total diff'bar) gilt das aber. Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie ich das zeigen kann? Danke
15.06.2012, 16:10	Gast619	Auf diesen Beitrag antworten »
hochschieb Danke für eure Hilfe

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