Integralberechnung entlang eines Quadrates.

14.06.2012, 18:09

Ciggy

Integralberechnung entlang eines Quadrates.

Hi,

Hätte eine Frage zu einer Aufgabe die lautet: Berechnen sie ein kurvenintegral Integral((x+y^2)dx +(y^2+y)dy wobei C der geschlossene Weg ist, der von (0,0) entlang eines Quadrats mit den weiter Punkten (1,0) (1,1) (0,1) führt.

Ich habe zur Berechnung das Kurvenintegral in 4 Teilintegrale aufgeteilt, dann x und y jeweils in Parameterdarstellung dargestellt und die Integrale dann einzelt aufgelöst und die Werte aller vier Teilintegrale addiert, wo dann Null rauskommt. Wollte jetzt nur fragen, ob dass so stimmen kann?!

Danke, mfg, Ciggy

15.06.2012, 00:53

mYthos

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Ein Kurvenintegral längs eines geschlossenen Weges hat stets den Wert Null. Big Laugh

Also stimmt es smile

mY+

15.06.2012, 08:42

Mystic

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Zitat:

Original von mYthos
Ein Kurvenintegral längs eines geschlossenen Weges hat stets den Wert Null. Big Laugh

Hm, aber doch nur, wenn für

$\begin{eqnarray*} \int_C Pdx+Qdy \end{eqnarray*}$

die Bedingung $\begin{eqnarray*} P_y =Q_x \end{eqnarray*}$ erfüllt ist...

15.06.2012, 10:52

HAL 9000

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Tatsächlich kommt hier nämlich -1 heraus, sowohl über das geschlossene Kurvenintegral als auch über das zugehörige Flächenintegral $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 \left( \frac{\partial (y^2+y)}{\partial x} - \frac{\partial (x+y^2)}{\partial y} \right) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ gemäß Satz von Green .

15.06.2012, 16:26

Mystic

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Tatsächlich kann man das Kurvenintegral ohne jede Übertreibung im Kopf berechnen... Da nämlich für

$\begin{eqnarray*} \int_C x\,dy+(y^2+y)\,dx \end{eqnarray*}$

obige Integrabilitätsbedingung erfüllt ist, ist sein Wert 0 und es verbleibt nur die Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \int_C y^2\,dx \end{eqnarray*}$

Aber da sich C aus den Quadratseiten $\begin{eqnarray*} C_1,C2,C_3,C4 \end{eqnarray*}$ (mit der Ecke im Ursprung beginnend und im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen) zusammensetzt und sein Wert längs $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ offensichtlich 0 ist, gilt

$\begin{eqnarray*} \int_C y^2\,dx=\int_{C_3}y^2\,dx=\int_{1}^01\,dx=-1 \end{eqnarray*}$

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