Konvergenzradius bestimmen

14.06.2012, 19:37	Esto	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius bestimmen Hallo, brauch bitte Hilfe bei folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} \text{Ermittle Konvergenzradius und das Konvergenzintervall (auch an den Grenzen des Intervalls) von } \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac {x^n}{n^ p} \end{eqnarray}$ Der Konvergenzradius R berechnet sich ja wie folgt: $\begin{eqnarray} R = \dfrac 1 {\lim \limits_{n \to \infty} \left\| \frac {a_{n+1}}{a_n}\right\|} \end{eqnarray}$ Mein a_n wäre hier $\begin{eqnarray} \frac 1 {n^p} \end{eqnarray}$ Woraus sich berechnet: $\begin{eqnarray} \lim \limits_{n \to \infty}\frac 1 {(n+1)^p} \cdot n^p = 1 \end{eqnarray}$ Folglich ist R = 1 und für \|x\| < 1 konvergiert die Potenzreihe. Ich bin mir nicht sicher. Ist das soweit richtig? Dann muss ich noch die Fälle für x = 1 und x = -1 betrachten oder? (Intervallgrenzen)

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