Frage zur Jordanschen Normalform

14.06.2012, 22:19	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zur Jordanschen Normalform Moin, eigentlich habe ich gleich mehrere Fragen zur JNF, da sie ein Mysterium für mich bleibt... Wir haben nen Endomorphismus $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , dessen charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Sei nun $\begin{eqnarray} V_i \end{eqnarray}$ der Hauptraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ . Wir definieren $\begin{eqnarray} G_i:=(f-\lambda_i\operatorname{id}_V)\bigr\|_{V_i} \end{eqnarray}$ . Dann erhalten wir für das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} M_{G_i} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} G_i \end{eqnarray}$ aus dem Lemma von Fitting: $\begin{eqnarray} M_{G_i}=t^{d_i} \end{eqnarray}$ , wobei die $\begin{eqnarray} d_i \end{eqnarray}$ als das Minimum mit $\begin{eqnarray} G_i^{d_i}=0 \end{eqnarray}$ definiert sind. Frage 1: Warum geben mir die $\begin{eqnarray} d_i \end{eqnarray}$ nun die Größe des größten Jordan-Blocks zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ ? Frage 2: Warum folgt aus $\begin{eqnarray} M_{G_i}=t^{d_i} \end{eqnarray}$ die Aussage $\begin{eqnarray} M_{f\|_{V_{i}}}=(t-\lambda_{i})^{d_{i}} \end{eqnarray}$ ? Frage 3: Nach dem Satz über die Hauptraumzerlegung haben wir die Zerlegung $\begin{eqnarray} V=\bigoplus\limits_{i=1}^{k}V_{k} \end{eqnarray}$ . Warum folgt dann $\begin{eqnarray} M_{f}=\prod_{i=1}^{k}M_{f\|_{V_{i}}} \end{eqnarray}$ ?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »