Unbeschränkte Funktion mal beschränkte Funktion = ?

14.06.2012, 22:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbeschränkte Funktion mal beschränkte Funktion = ? Meine Frage: Hallo Leute, ich versuche mir gerade zu überlegen, ob das Produkt einer beschränkten und einer unbeschränkten Funktion beschränkt ist oder nicht! Konkret: $\begin{eqnarray} e^x \cdot cos(x) \end{eqnarray}$ ist das beschränkt oder unbeschränkt nach oben und unten natürlich! Meine Ideen: Ich geh davon aus, dass es unbeschränkt ist, weil ja durch das Produkt die Schranken beliebig nach oben oder unten geschoben werden, also im Grunde keine existieren oder? Danke
14.06.2012, 22:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Durch welchen Term kannst Du denn $\begin{eqnarray} f(x)=e^x\cdot cos(x) \end{eqnarray}$ nach oben und unten abschätzen? Nutze dazu dein Wissen über den Wertebereich der Cosinusfunktion.
14.06.2012, 22:52	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es git doch: $\begin{eqnarray} f(x) = e^x \cdot cos(x) \leq e^x \end{eqnarray}$ was unbeschränkt ist nach oben und $\begin{eqnarray} f(x) = e^x \cdot cos(x) \geq -e^x \end{eqnarray}$ was auch unbeschränkt ist nach unten kann ich dies denn auf Funktionen mit 2 Variablen übertragen?? Ist dann: $\begin{eqnarray} f(x) = \begin{pmatrix} e^x cos(y) \\ e^x sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
14.06.2012, 23:10	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, der Tip war nicht genug durchdacht und führt nur auf $\begin{eqnarray} \|e^x\cdot cos(x)\|\leq e^x \end{eqnarray}$ ,was uns leider nicht weiter bringt. Wenn Du Dir aber überlegst, wo der Cosinus seine Extremwerte annimmt, kannst Du daraus eine Folge konstruieren, die etwas über die Beschränktheit der Funktion aussagt. Bzgl deiner neuen Funktion stellt sich zunächst einmal die Frage was y sein soll. Ein Parameter oder eine weitere Variabel, so dass $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ist?
14.06.2012, 23:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das muss: $\begin{eqnarray} f(x,y) = \begin{pmatrix} e^x cos(y) \\ e^x sin(y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heißen, und ich will die injektivität und surjektivität dieser Funktion eingeschränkt auf: $\begin{eqnarray} S = \mathbb R \times ( -\pi, \pi) \end{eqnarray}$ zeigen! Aber ich kenne das nur für lineare Abbildungen, ich weiß dass es auf R x R nicht injektiv ist, also auch nicht bijektiv. Aber wie zeigen, dass es auf S bijektiv ist?
14.06.2012, 23:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst Du dann mit der Beschränktheit? Nutze einfach nur die Definition der Injektivität und schau, ob aus f(x,y)=f(a,b) stets (x,y)=(a,b) folgt oder nicht.
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