Verständnisproblem bei \sum\limits_{i=1}^n i^2

15.06.2012, 10:43

134340

Verständnisproblem bei \sum\limits_{i=1}^n i^2

Hi Matheboard Wink

Es geht um die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ . Ich verstehe nicht ganz wo die 6 im Nenner herkommt?

15.06.2012, 10:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von 134340
Ich verstehe nicht ganz wo die 6 im Nenner herkommt?

Eine schlichte, aber für dich wahrscheinlich nicht befriedigende Antwort darauf lautet:

Der Nachweis dieser Formel zeigt, dass die 6 dort hingehört. smile

Eigentlich müsstest du dann auch schon fragen, wieso beim kleinen Gauß $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ da rechts eine 2 im Nenner steht. verwirrt

18.06.2012, 08:33

134340

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Ich cheks noch nicht ganz unglücklich

Da der kleine Gauß $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ ist; könnte ich doch meine Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)*(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ ausdrücken oder nicht?

18.06.2012, 09:08

Mystic

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Zitat:

Original von 134340
Ich cheks noch nicht ganz unglücklich

Fast, du hast dich nur im Exponenten um 1 geirrt... Freude

Es gilt nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^3=(n(n+1)/2)^2 \end{eqnarray*}$

Um auch noch was Sinnvolles zu dem Thema zu sagen: Es gilt allgemein

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^k= \frac{n^{k+1}}{k+1}+O(n^k) \end{eqnarray*}$

und das hängt damit zusammen, dass

$\begin{eqnarray*} \int x^k \, dx=\frac{x^{k+1}}{k+1} +C \end{eqnarray*}$

ist...

18.06.2012, 10:08

HAL 9000

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Ergänzend vielleicht noch dies:

Es gibt zwar keine einfache bzw. "leicht eingängige" Summenformel für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i^k \end{eqnarray*}$ mit allgemeinen $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , wohl aber die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

wo ja der Binomialkoeffizient $\begin{eqnarray*} \binom{i}{k} \end{eqnarray*}$ auch ein Polynom $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Grades in $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ist.

Ein beliebiges Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ vom Grad $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ lässt sich nun als Linearkombination von Binomialkoeffizienten schreiben:

$\begin{eqnarray*} p(i) = \sum_{k=0}^m a_k\binom{i}{k} \end{eqnarray*}$

und entsprechend (*) dann auch eine Summenformel für $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n p(i) \end{eqnarray*}$ zusammenbasteln.

18.06.2012, 12:00

Mystic

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Apropos "zusammenbasteln"... Man könnte auch von der Ausgangsfolge, d.h., der gesuchten Partialsummenfolge wiederholt die Differenzenfolge bilden, bis man irgendwann einmal auf eine konstante Folge kommt oder auch eine Folge, die man leicht aufsummieren kann... Danach geht man in die umgekehrte Richtung und stellt mittels "Teleskoptrick" aus den Differenzenfolgen Schritt für Schritt die Originalfolge wieder her... Augenzwinkern

19.06.2012, 11:23

134340

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Dank euch

Ihr habt mir echt weitergeholfen Big Laugh

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