Diagonalmatrizen, kommutierende Matrizen

15.06.2012, 11:54

blubbel

Diagonalmatrizen, kommutierende Matrizen

Hi,

ich zerbreche mir den Kopf über folgendes: Seien A und B diagonalisierbare Matrizen. Aus AB=BA=D Diagonalmatrix folgt, dass A und B jeweils selbst auch Diagonalmatrizen sind.

Stimmt das? Vom Gefühl her dachte ich zunächst nicht, aber ich komme auf kein Gegenbeispiel (zumindest für 2x2 Matrizen hab ich es probiert). Inzwischen glaube ich schon daran, kann es aber nicht mit einem Beweis festigen..

edit: die Bedingung, dass A,B diagonalisierbar sein sollen nachträglich hinzugefügt

15.06.2012, 12:07

Mazze

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Gegenbeispiel :

A invertierbar und $\begin{eqnarray*} B = A^{-1} \end{eqnarray*}$

15.06.2012, 12:14

blubbel

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Ich hab eine wichtige Voraussetzung vergessen... A und B sollen beide diagonalisierbar sein. Das mit dem Inversen hab ich schon ausprobiert, aber es scheint so, dass das Inverse einer diagonalisierbaren 2x2 Matrix nicht diagonalisierbar ist - außer die Matrizen sind Diagonalmatrizen...
Nullteiler kommen scheinbar auch nicht in Frage, zumindest die einfachen sind ja immer Diagonalmatrizen.

15.06.2012, 12:16

Mazze

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Folgende Matrix ist invertierbar und Diagonalisierbar

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & c \\ 0 & b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a \neq b, a \neq 0, b \neq 0 , c\neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

dass das Inverse einer diagonalisierbaren 2x2 Matrix nicht diagonalisierbar ist

Das ist falsch. Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist die Inverse von A auch diagonalisierbar, ist auch sehr leicht zu beweisen.

15.06.2012, 12:35

blubbel

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Ich meine sogar $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausprobiert zu haben...
Das Inverse ist dann $\begin{eqnarray*} B = A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac 1 2 & - \frac 1 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , mit den Eigenwerten 1/2 und 1, dadurch natürlich invertierbar.
Zusammenfassung: A und B sind keine Diagonalmatrizen, AB=BA=E_2 ist Diagonalmatrix und sowohl A, als auch B sind diagonalisierbar.
Da hab ich mich wohl ganz übel verrechnet (vorhin kam als Inverses noch eine nicht-diagonalisierbare Matrix heraus geschockt

, Versuche mit Zufallswerten und Auswertung mit Wolframalpha hat auch nicht-diagonalisierbare Inverse ausgespuckt, da lief wohl etwas mit der Eingabe falsch...)

Danke smile

Zitat:

Ist A invertierbar und diagonalisierbar, so ist die Inverse von A auch diagonalisierbar

Das Inverse B hat nämlich die gleichen Eigenvektoren wie A und genau die Inversen der Eigenwerte von A als Eigenwerte, macht Sinn. Augenzwinkern

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