ln-Integration

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Natschn Auf diesen Beitrag antworten »
ln-Integration
Meine Frage:
Also meine Aufgabe lautet: Integral von ln(1+x²)dx ; (weiß nicht genau wie man dieses Integral-Zeichen macht), wäre super wenn mir jemanden helfen könnte !

Meine Ideen:
also normal heißt es ja ln(x)= x+ln(x)-x; wenn ich jetzt habe ln(1+x²)ist es dann: x*ln(1+x²)-2x (1+x² abgeleitet??) .. oder bin ich komplett falsch?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
Diese Funktion kann man partiell integrieren als

Probiers aus.
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
wie soll das genau funktionieren?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
Sind Dir denn die Regeln der partiellen Integration bekannt (mit u, u', v, v')?
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
nicht genau...
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
Dann würde die Lösung hier evtl. den Rahmen der Frage sprengen. Es genügt vielleicht nicht, wenn ich die Formel hinschreibe, da diese dann gesondert besprochen werden müßte.
Mal so: In welchem thematischen Kontext wird denn die Aufgabe gestellt? Soll nur eine Stammfunktion dieses ln bestimmt werden? Gibt es noch weitere Informationen zur Aufgabe?
 
 
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
die Frage lautet: berechnen Sie die Integrale
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
Also gut. Fangen wir mal so an: Partielle Integration kann als Gegenstück zur Produktregel der Differentialrechnung betrachtet werden. Letztere lautet:
(u * v)' = u' * v + u * v' (alles immer Funktionen "von x")
Nun integriere ich beide Seiten und schreibe kurz:

und umgestellt:


So weit verständlich?
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
ok.. ja die formel kenn ich doch, aber ich weiß nie was die damit meinen.. heißt f' jetzt die Ableitung von f oder das Integral von f ?
Die Ableitung oder? also wäre quasi f' 0 -- weil wenn man 1 Ableitet bleibt ja nichts übrig und g' quasi die Ableitung von ln(1+x²)?
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
in deinem Beispiel halt u' und v' ... lg.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
Lang hats gedauert, aber ich bin noch da ...

Also wenn man das Produkt zweier Funktionen integrieren will, dann wählt man geschickt eine davon als Funktion v(x) und die andere als Ableitung u'(x) von irgendwas. Nun bestimmt man jeweils noch die Ableitung von v(x) und eine Stammfunktion von u'(x) (also u(x)) und setzt in die letzte Formel ein. Wie bzw. ob es dann weitergeht, zeigt sich.

Vielleicht kannst Du so weit nun für diesen Fall vorgehen unter Berücksichtigung dessen, was ich als erstes vorgegeben habe.
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
Entschuldigung, habs gestern schon etwas aufgegeben gehabt..
so ich hab jetzt:

x*ln(1+x²) - Integral von x/1+x² stimmt das? u'=1, u=x, v= ln(1+x²) v'= 1/(1+x²)
gabs Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ln-Integration
so damit ich jetzt x/(1+x²) integrieren kann hab ich jetzt die substitution verwendet, ich habe gesagt z= x²+1; z'=2x; 2x=dz/dx; dx=dz/2x ... dann hab ich gesagt Integral von x/(1+x²) = Integral von x/z * dz/2x dann kann ich ja x kürzen und hab 0,5*Integral von 1/z dz und dann hab ich gesagt Integral von 1/z dz= ln|x²+1| also hab ich = xln(1+x²)-0,5ln|x²+1| stimmt das jetzt ?
kleiner Hinweis Auf diesen Beitrag antworten »

sollte richtig sein.

Wenn du mit klar gekommen bist, wird es doch nicht noch malso kompliziert, wie es bei dir in der letzten Zeile aussieht...

Dein Problem bei der part. Integration ist das v. Leite mal ab, da kommt nicht dein v' heraus.
gabs Auf diesen Beitrag antworten »

v' ist nicht 1/(1_x²) warum nicht?

ja meine ganze Lösung lautet:

x* ln(1+x²) - 0,5 * ln |x²+1| + C
kleiner Hinweis Auf diesen Beitrag antworten »

bei der Ableitung von ln(1+x^2) ist die Kettenregel anzuwenden!
kleiner Hinweis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fasse mal zusammen, folgende Situation:
Du möchtest

berechnen und hast dich für partielle Integration mit u=x und v=ln(1+x^2) entschieden.
du brauchst jetzt die richtige Ableitung v' und musst dich dann um
\int (u v') dx kümmern. Das ist immer noch nicht leicht. Als Ausblick:
Du brauchst später den arctan() - wäre also gut, wenn du dir dessen Ableitung schon mal anschaust.
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