x^0 =1 - warum?

16.06.2012, 09:34

frenky9

x^0 =1 - warum?

Meine Frage:
Hi,

ich wurde neulich gefragt, warum jede Zahl mit dem Exponenten 0 gleich 1 ist.
Ich habe gesagt, weil der Exponent unter 1 jede Zahl an die 1 annähert, die 1 ist quasi der Grenzwert des fortgesetzten Radizierens einer beliebigen Zahl.
Ist die Erklärung ausreichend, oder gibt es noch weitere, einleuchtende Gründe?

Gruß

Meine Ideen:
in der Frage enthalten

16.06.2012, 09:45

Mystic

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RE: x^0 =1 - warum?
Naja, für $\begin{eqnarray*} x \ne 0 \end{eqnarray*}$ gilt ja

$\begin{eqnarray*} x^0=x^{1-1}=\frac xx=1... \end{eqnarray*}$

Nur für x=0 braucht man eine eigene Definition gemäß der dann auch $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ ist..

16.06.2012, 09:58

Fielnix

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Ja, die algebraische Umformung durch Anwendung der Potenzgesetze ist nochmal ein anderer Ansatz, sehr gut.

Wie lässt sich 0^0=1 erklären?
Praktische Gründe? 0/0 funktioniert ja nicht.

16.06.2012, 10:10

chrizke

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$\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ kann man z.B. durch Betrachtung der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^x \end{eqnarray*}$ sehen.

16.06.2012, 10:16

Sherlock Holmes

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In Ergänzung:

Die Hochzahl 0 sagt, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und somit alleine stehen bleibt, weswegen 1 als Faktor übrig bleibt.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a^2=1\cdot a\cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^1=1\cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^0=1 \end{eqnarray*}$

Gruß Sherlock

16.06.2012, 10:21

Mystic

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Zitat:

Original von Fielnix
Wie lässt sich 0^0=1 erklären?
Praktische Gründe? 0/0 funktioniert ja nicht.

Hm, sagte ich nicht oben ganz klar, dass man für $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ eine Definition braucht? Mit anderen Worten, da läßt sich nichts "erklären"... geschockt

Und ja, "praktische Gründe" für diese Definition gibt es genug... Das beginnt ja schon mit der formalen Schreibweise eines Polynoms

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$

wo man sonst nicht einmal x=0 einsetzen könnte...

16.06.2012, 10:23

kleiner Hinweis

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0^0 ist unbestimmt
Es ist aus meiner Sicht vernünftiger, 0^0 als unbestimmt bzw. nicht definiert zu betrachten, als die Definition von 0^0=1zu verwenden, siehe für diese Meinung zum Beispiel auch:
mathworld.wolfram.com/Zero.html
Zitat: "0^0 itself is undefined. The lack of a well-defined meaning for this quantity follows from the mutually contradictory facts that a^0 is always 1, so 0^0 should equal 1, but 0^a is always 0 (for a>0), so 0^0 should equal 0.
It could be argued that 0^0=1 is a natural definition since
$\begin{eqnarray*} lim_{n\to 0}(n^n)=lim_{n\to 0^+}(n^n)=lim_{n\to 0^-}(n^n)=1. \end{eqnarray*}$
However, the limit does not exist for general complex values of n. Therefore, the choice of definition for 0^0 is usually defined to be indeterminate. "

16.06.2012, 10:51

Mystic

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RE: 0^0 ist unbestimmt

Zitat:

Original von kleiner Hinweis
Es ist aus meiner Sicht vernünftiger, 0^0 als unbestimmt bzw. nicht definiert zu betrachten, als die Definition von 0^0=1zu verwenden, siehe für diese Meinung zum Beispiel auch:
mathworld.wolfram.com/Zero.html

[...] Therefore, the choice of definition for 0^0 is usually defined to be indeterminate. "

Ich brauche wohl nicht zu betonen, dass ich da ganz klar anderer Meinung bin... Man hätte sonst an allen Ecken und Enden Ausnahmen, nicht nur für Polynome und Potenzreihen, obwohl das sicher einer der wichtigsten Gründe ist, der dafür spricht...

Ganz alltägliche Dinge, wie etwas der binomische Lehrsatz

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk a^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

würden plötzlich a=0, b=0 bzw. n=0 aufhören zu "funktionieren", obwohl seine Sinnhaftigkeit ja bekanntlich sogar weit über ganze Exponenten hinausgeht... geschockt

Nene, diese Definition brauchen wir wie einen Bissen Brot und auch die meisten CAS (vielleicht nicht Mathematica, das kann ich im Moment nicht checken, aber sicher Maple und Derive) sind dieser Meinung... Augenzwinkern

16.06.2012, 10:59

Iorek

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RE: 0^0 ist unbestimmt

Zitat:

Original von Mystic
Ich brauche wohl nicht zu betonen, dass ich da ganz klar anderer Meinung bin... Man hätte sonst an allen Ecken und Enden Ausnahmen, nicht nur für Polynome und Potenzreihen, obwohl das sicher einer der wichtigsten Gründe ist, die dafür sprechen...

Zumal die verlinkte Quelle von "kleiner Hinweis" selbst auf diesen Umstand aufmerksam macht, wenn man nur mal einen Satz weiterliest. Man könnte höchstens noch sagen, dass es keine einheitliche Definition von $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ gibt, sich die Konvention $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ aber größtenteils als sinnvoll erweist (glaub wir hatten mal einen ähnlichen Thread, wo jester. ein nettes Beispiel gebracht hat, wo es Probleme gibt, müsste ich mal suchen).

@Mystic, das mit Mathematica hatten wir auch schon einmal. Augenzwinkern

16.06.2012, 11:07

kleiner Hinweis

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eine nette Reihe von Argumenten findet sich auch hier:

askamathematician.com / 2010/12/q-what-does-00-zero-raised-to-the-zeroth-power-equal-why-do-mathematicians-and-high-school-teachers-disagree

Fazit: "There are some further reasons why using 0^0 = 1 is preferable, but they boil down to that choice being more useful than the alternative choices, leading to simpler theorems, or feeling more “natural” to mathematicians. The choice is not “right”, it is merely nice."

16.06.2012, 11:15

Fielnix

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Herzlichen Dank für die Antworten!
Auch für die kleine Diskussion, mit den Argumenten, die ich allesamt gut nachvollziehen kann.

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x^0 =1 - warum?

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