Äquivalenz zweier Aussagen - Mengen

16.06.2012, 10:52

Daniel1

Äquivalenz zweier Aussagen - Mengen

Hallo,

zu zeigen ist folgende Äquivalenz
$\begin{eqnarray*} A \cap B = \emptyset <=> A \backslash B =A \end{eqnarray*}$

Also, ich beweise es doch nun so, dass ich zuerst => und dann <= zeige.
Ich möchte nun einmal wissen, wie ich => zeige.

Meine Überlegung ist folgende:

Unter Voraussetzung, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} A \cap B => \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \emptyset => A \cap B \end{eqnarray*}$

ist zu beweisen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} A \backslash B =A \end{eqnarray*}$
Dies bedeutet doch soviel wie
$\begin{eqnarray*} x \in A \wedge x \notin B => x \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x \in A => x \in A \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$
Diese beiden Implikationen müssen doch nun bewiesen werden?

Die erste Implikation ist ja ohnehin richtig, denn wenn x Element von A und x nicht Element von B ist folgt zwangsläufig, dass x Element von A ist.
Doch mir ist nicht klar, wie ich die zweite Beweisen soll.
Es gibt ja eigentlich nur zwei Möglichkeiten. Entweder $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \notin B \end{eqnarray*}$ . Im zweiten Fall, wäre die Implikation wahr und die erste "Richtung" wäre bewiesen. Doch was ist, wenn $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ gilt?
Mir ist nicht klar, wie ich diese Implikation nun richtig beweisen soll.

Danke für eure Hilfe!

16.06.2012, 10:59

Gast11022013

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Dafür brauchst Du jetzt eben die Voraussetzung, daß A und B leeren Schnitt haben!

16.06.2012, 11:04

Daniel1

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Zitat:

Original von Dennis2010
Dafür brauchst Du jetzt eben die Voraussetzung, daß A und B leeren Schnitt haben!

Ja, das habe ich mir schon gedacht! Aber was sagt mir das dann? Wie kann ich mit dem Wissen, das für den Fall $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ gilt, dass der Schnitt leer ist? Wie beweise ich dadurch die Wahrheit der 2. Implikation?

Kann es eventuell so sein:
Dadurch das A und B einen leeren Schnitt haben, haben sie auch keine Gemeinsamen Elemente, folglich muss gelten: $\begin{eqnarray*} (x \in A \ \wedge x \notin B) \vee (x \notin A \ \wedge x \in B) \end{eqnarray*}$ und da ja die Prämisse $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ gilt, muss $\begin{eqnarray*} x \notin B \end{eqnarray*}$ gelten.

Ist diese Überlegung richtig?

16.06.2012, 11:22

Gast11022013

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Zitat:

Original von Daniel1

Ist diese Überlegung richtig?

Ja.

Es soll gelten $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} A\cap B=\emptyset \end{eqnarray*}$ gilt, gilt $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ .

16.06.2012, 11:23

Daniel1

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Zitat:

Original von Dennis2010

Zitat:

Original von Daniel1

Ist diese Überlegung richtig?

Ja.

Danke!

16.06.2012, 11:26

Gast11022013

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Vielleicht noch eine kleine Bemerkung zur Schreibweise.

Du hattest geschrieben, daß die Voraussetzung sei:

$\begin{eqnarray*} A\cap B\Rightarrow\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \emptyset\Rightarrow A\cap B \end{eqnarray*}$

Diese Notation mit den Implikationspfeilen ist ungünstig, jedenfalls wenn Du von Mengengleichheit sprichst. Da solltest Du dann $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ verwenden.

16.06.2012, 12:02

Daniel1

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Zitat:

Original von Dennis2010
Vielleicht noch eine kleine Bemerkung zur Schreibweise.

Du hattest geschrieben, daß die Voraussetzung sei:

$\begin{eqnarray*} A\cap B\Rightarrow\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \emptyset\Rightarrow A\cap B \end{eqnarray*}$

Diese Notation mit den Implikationspfeilen ist ungünstig, jedenfalls wenn Du von Mengengleichheit sprichst. Da solltest Du dann $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ verwenden.

Ok, ich dachte A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B ist Äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \in A => x \in B \end{eqnarray*}$

Aber Danke für den Hinweis!

16.06.2012, 12:08

Gast11022013

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Ja, so ist das auch richtig!

Aber Du hattest es ja anders aufgeschrieben (nicht mit Elementen, sondern mit Mengen).

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