integrieren duch Partialbruchzerlegung

16.06.2012, 11:45

sirius7

integrieren duch Partialbruchzerlegung

Hallo, wollte mal nachfragen, ob ich es richtig gemacht habe )

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x+1)^3}=\frac{a}{(x+1)^3}+\frac{b}{(x+1)^2}+\frac{c}{(x+1)} x=a+bx+b+c(x^2+2+1) x=a+bx+b+cx^2+2c+c cx^2=0 : c=0 bx=x : b=1 a+b=0 : a=-1 \int -\frac{1}{(x+1)^3}+\int \frac{1}{(x+1)^2}= \frac{3}{(x+1)^4}-\frac{1}{(x+1)^3} \end{eqnarray*}$
wenn bisdahin richtig ist, kann ich dann weiter zusammenfassen ) Gruss Wink

16.06.2012, 12:04

calculafisto

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Hallo Sirius,

der Ansatz ist o.k., aber du hast schon in der 2. Zeile den Faktor bei dem c falsch (das Binom).
Das zieht sich leider durch, sodass du ab dort noch malrechnen müsstest.

16.06.2012, 12:11

calculafisto

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ach nee, jetzt bin ich auch nicht ganz richtig gewesen:
Der Fehler aus der 2.Zeile wirkt sich nicht weiter aus, wegen c=0 - trotzdem noch mal anschauen.
du hast letztlich die richtige Partialbruchzerlegung, aber die einzelnen Integrale sind falsch. Da hast du abgeleitet statt zu integrieren. Noch eine bitte: vergiss nicht da "dx", sonst sehen die Formeln so falsch aus.

16.06.2012, 12:12

sirius7

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achso stimmt ja $\begin{eqnarray*} c(x^2+2x+1) \end{eqnarray*}$ muss es doch sein.. ich blödman) danke schön Hammer

16.06.2012, 12:15

sirius7

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Zitat:

Original von calculafisto

du hast letztlich die richtige Partialbruchzerlegung, aber die einzelnen Integrale sind falsch. Da hast du abgeleitet statt zu integrieren. Noch eine bitte: vergiss nicht da "dx", sonst sehen die Formeln so falsch aus.

ou stimmt... hab abgeleitet.. man o man .. vielen vielen Dank! smile

werd das Ding gleich korrigieren)

16.06.2012, 12:41

sirius7

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also:
$\begin{eqnarray*} \int -\frac{1}{(x+1)^3} dx +\int \frac{1}{(x+1)^2} dx \int -(x+1)^{-3} dx +\int (x+1)^{-2} dx = \frac{1}{2} (x+1)^{-2} -(x+1)^{-1} \end{eqnarray*}$
und dann weiter vereinfachen)
ist das jetzt richtig? verwirrt

16.06.2012, 12:44

calculafisto

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ja, so sieht es gut aus!

(wegen gestern auch alles klar?)

16.06.2012, 13:00

sirius7

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ja, das habe ich auch verstanden, ist im Grunde reines Abzehen einer Fläche von der anderen, nur ist es nicht immer sofort klar, wo die Flächen und die Grenzen sind.. noch mal vielen vielen Dank!

16.06.2012, 13:05

calculafisto

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vielleicht hilft dir noch folgende Vorstellung:

Stell dir vor, beide Funktionsgraphen, die eine Fläche einschließen, werden soweit nach oben geschoben, dass sie überalle oberhalb der x-Achse liegen. Dann hast du eine dir bekannte Aufgabe. Durch das Verschieben wird aber die Größe der Fläche nicht geändert.
Den Betrag brauchst du nur dann, wenn nicht klar ist, welche Funktion "oben" und welche "unten" ist. Wenn sich die Graphen aber mehrmals schneiden, also mehrere Flächen bilden, dann muss man noch mal genauer hinschauen.

16.06.2012, 13:30

sirius7

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aha, ok hab verstanden, Betrag der Fläche haben wir glaube ich so noch nicht behandelt, doch Volumen in Bezug auf Doppelintegral macht mir richtig Probleme, vor alem das Bestimmen von Grenzen.. und das Schlimmste, die Aufgaben werden in der Klausur mit höchster Punktuzahl bewertet traurig

16.06.2012, 13:37

calculafisto

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hmm. jetzt kommen wir von einem zum nächsten, das wird schwierig.

noch mal kurz zu den Flächen:

Flächeninhalte sollen positiv sein, Integrale können auch negativ sein. Deshalb muss mitunter noch der Betrag des Integrals genommen werden, wenn eine Fläche gesucht ist.
Integrierst du aber die Differenz f(x)-g(x), so ist diese Funktion selbst immer positiv, wenn f(x)>g(x), du also die "richtige" als f wählst, nämlich die, deren Graph oberhalb von dem anderen liegt. Das ist jetzt vielleicht komplizierter ausgedrückt, als es eigentlich ist - aber ich hatte auch nicht die Formel mit dem Betrag vom Integral gegeben gestern.

zu Volumenintegralen machst du sicher eine neues thema auf, falls nötig

16.06.2012, 13:54

sirius7

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ah ja, ich hab gestern noch sowas rausgekriegt
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^3 x+2=\frac{1}{2}x^2+2x [\frac{1}{2}3^2+6][\frac{1}{2}(-2)^2-4]=\frac{25}{2} \end{eqnarray*}$
dann
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 x^2-4=\frac{1}{3}x^3 -4x =[\frac{1}{3}3^3 -12][\frac{1}{3}2^3 -8]= -\frac{41}{3} \end{eqnarray*}$
hesst das ich muss von der unteren fkt den Betrag nehmen und von der oberen abziehen?
$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}-\frac{45}{3}=-\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}+\frac{45}{3}=27,5 \end{eqnarray*}$
verwirrt

16.06.2012, 14:14

calculafisto

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Lass mich mal ein bisschen korrigieren:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^3 (x+2) \,dx = \left [ \frac{1}{2}x^2+2x \right]_{-2}^3 \\ = \left (\frac{1}{2}3^2+6 \right) - \left (\frac{1}{2}(-2)^2-4 \right)=\frac{25}{2} \end{eqnarray*}$
ist korrekt.
(soweit zu den Schreibweisen - nach [edit] und du siehst den Latex-Code.)

$\begin{eqnarray*} \int_2^3 (x^2-4)\,dx = \left [ \frac{1}{3}x^3 -4x \right ]_{2}^3 \\ =\left (\frac{1}{3}3^3 -12 \right ) - \left (\frac{1}{3}2^3 -8 \right )= \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$
hier war das Ergebnis falsch, es ist tatsächlich auch positiv - entspricht einer Fläche über der x-Achse.

>heisst das ich muss von der unteren fkt den Betrag nehmen und von der oberen abziehen?
nein, das brauchst du nicht und es wäre inhaltlich (wenn auch nicht rechnerisch) falsch.

Ich sag mal so: der Vorschlag von dopab ist für dich noch nicht hilfreich, weil du ihn erst noch durchdenken musst. Ich versuche weiter, dir dabei zu helfen, ok?

Zunächst sollte aber deine eigene Lösung stimmig sein. Dir fehlt ja nun noch die Fläche unter der x-Achse.

16.06.2012, 14:17

calculafisto

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ach so: für die Fläche über der x-Achse wirst du natürlich vom ersten Integral (=Fläche unter der Geraden)
das zweite (=kleine Restfläche unter der Parabel) abziehen,
also 25/2 - 7/3 berechnen.
Die Fläche unter der x-Achse hat dann nur mit der Parabel zu tun ...

16.06.2012, 14:34

sirius7

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aha, ok, dass heisst den Betrag der fläche unter x-Achse addiere ich dazu:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^2 x^2-4=\frac{1}{3}x^3-4x= \frac{1}{3}2^3-8-\frac{1}{3}(-2)^3+8 =\frac{16}{3}... \end{eqnarray*}$

Zusammenaddieren:

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}+\frac{7}{3}+\frac{16}{3}=\frac{121}{6} \end{eqnarray*}$

komisch jetzt ist die Fläche unterhalb der x-Achse positiv...

16.06.2012, 14:39

calculafisto

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Idee richtig, Ausführung leider nicht.

der Fehler ist auch sichtbar, weil du keine Klammern gesetzt hast:

$\begin{eqnarray*} [\dots ]_{-2}^2 = ( \dots ) - ( \dots ) \end{eqnarray*}$

so viel Zeit muss sein, dann passt es auch - und das Integral muss negativ sein(!)

16.06.2012, 14:47

sirius7

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richtig, wenn ich Integrale in die Klammer setze, komme ich auf -32/3
... mach irgendwie Fehler in jedem Schritt unglücklich

16.06.2012, 14:52

calculafisto

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ich sortiere noch mal die Flächen:
$\begin{eqnarray*} A_1 = \frac{25}{2} \end{eqnarray*}$ unter f und über x-Achse
$\begin{eqnarray*} A_2 = \frac{7}{3} \end{eqnarray*}$ unter g und über x-Achse
$\begin{eqnarray*} A_3 = - ( -\frac{32}{3}) \end{eqnarray*}$ über g und unter x-Achse

Da ist so ziemlich alles dabei, was man beachten müsste...
Für die Gesamtfläche ist $\begin{eqnarray*} A_1 - A_2 + A_3 \end{eqnarray*}$ zu berechnen, also

$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2} - \frac{7}{3} - ( -\frac{32}{3}) = \frac{25}{2} - \left( \frac{7}{3} + ( -\frac{32}{3}) \right ) \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt schaust, von welchen Integralen die beiden Werte in der Klammer stammen, könntest du drauf kommen, wie man dieses Vorgehen vereinfachen kann (einfach noch malhinschreiben und zusammenfassen).

16.06.2012, 15:15

sirius7

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ok, das ist dann wohl
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^3 x+2 - (\int_2^3 x^2-4 + \int_{-2}^2 x^2-4) \end{eqnarray*}$
die Lösung ist dann
$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}-(\frac{7}{3}+\frac{32}{2})=-\frac{35}{6} \end{eqnarray*}$

ist das dann richtig? )

16.06.2012, 15:30

calculafisto

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ich formatiere noch mal ...
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^3 (x+2)\,dx - ( \int_2^3 (x^2-4)\,dx + \int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx ) \end{eqnarray*}$
und eine wichtige Erkenntnis, die noch fehlt, ist:
$\begin{eqnarray*} \int_2^3 (x^2-4)\,dx + \int_{-2}^2 (x^2-4)\,dx = \int_{-2}^3 (x^2-4)\,dx \end{eqnarray*}$
also auch das Integral über das komplette Interval!

Es bleibt also mit f und g entsprechend und den richtigen Grenzen - jeweilsdieselben für alle Integrale:
$\begin{eqnarray*} \int f(x)\,dx - \int g(x)\,dx = \int (f(x)-g(x))\,dx \end{eqnarray*}$
und das gute ist, dass man gar nicht darauf achten muss, ob f bzw. g die x-Achse schneiden oder nicht!
Das solltest du dir veranschaulichen bzw. ich hätte noch ein paar Veranschulichungen parat (eine davon steht weiter vorn schon).

die Lösung ist dann - nicht richtig, wegen Vorzeichenfehler ...
sondern
$\begin{eqnarray*} \frac{25}{2}-(\frac{7}{3}+(-\frac{32}{2}))=-\frac{125}{6} \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 15:34

calculafisto

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plus 125 / 6 natürlich ... soll ja ein Flächeninhalt sein - hier nur Tippfehler bzw. durch das copy&paste entstanden

16.06.2012, 15:40

calculafisto

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noch eine Idee:

mach doch mal einen Überschlag für Fläche:

ein Dreieck über der x-Achse rund 5*5/2 = 12.5 FE
eine Parabel unter der x-Achse, angenähert auch durch Dreieck rund 4*4/2=8
macht zusammen 20.5 FE (exakter Wert 20.833... FE)
Was über der Achse zuviel ist (vom Dreieck abgezogen werden müsste)
gleicht sich mit dem, was die Parabel unter derAchse größer ist als das Dreieck fast aus ...

16.06.2012, 15:43

calculafisto

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oh je, und 32/3 natürlich bei der Bruchrechnung, ein Übertragungsfehler von weiter oben ... ärgerlich

16.06.2012, 16:05

sirius7

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alles klar, hab das dank deiner Hilfe mehr oder weniger verstanden, mache grad eine Aufgabe zur Übertragungsfunktion, danach probiere ich die mit dem Überschlag der Fläche, bin din wirklich sehr dankbar für deine die Hilfe! smile

16.06.2012, 16:18

calculafisto

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gut, gut, wie ich sehe lässt du dich durch mich hier nicht aus dem Konzept bringen - sehr gut.

Es muss auch nicht alles korrigiert werden, was hier im Board schief geht. Ich sag immer: Aus Fehlern lernt man ma meisten - man muss die Fehler allerdings bemerken ;-)

Nun schreib ich noch das Fazit, wie man die Aufgabe vermutlich am schnellsten lösen könnte:

entweder:

Integriere beide Funktionen im Intervall zwischen ihren beiden (benachbarten) Schnittpunkten jeweils für sich - egal ob sie Nullstellen haben oder nicht. Die Integrale drücken dann nicht unbedingt Flächen aus - das weißt du sicher.
Ziehe von dem größeren Integral das kleinere ab - fertig ist der gesuchte Flächeninhalt.

oder:

Bilde die Differenzfunktion (f(x)-g(x)), die bei richtiger Wahl von f und g im betrachteten Intervall positiv ist. (f(x)>g(x))
Dann muss nur noch diese Funktion integriert werden - fertig.

Für das Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^3 \left ( (x+2) - (x^2-4) \right )\,dx = \int_{-2}^3 \left ( -x^2 + x +6 \right )\,dx = \frac {125}{6} \end{eqnarray*}$

Die Klammern sind wichtig. Mit Beträgen kann man es allgemein aufschreiben, aber da muss man aufpassen, dass man nicht etwa die Beträge der einzelnen Funktionen nimmt, sondern erst zum Schluss. Wenn man genau aufpasst, was man rechnet, braucht man keinen Betrag.

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