Untervektorraum, durch Vorschriften definiert

16.06.2012, 12:20

SilverShadow

Untervektorraum, durch Vorschriften definiert

Hallo!
Hätte eine Frage zu einer Aufgabe (siehe Anhang):

Also V ist ein R Vektorraum, U davon ein Untervektorraum und $\begin{eqnarray*} a \in V \end{eqnarray*}$

Also eigentlich ist doch a+U erstmal ein affiner Untervektorraum?
Und der Vektorraum $\begin{eqnarray*} V_a \end{eqnarray*}$ hat folgende Eigenschaften für Addition und skalare Multiplikation:
$\begin{eqnarray*} v+_a w=v+w-a \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lambda *_a v := \lambda (v-a)+a \end{eqnarray*}$

D. h. bei meiner Addition zieht man immer noch einen Vektor a ab und bei der skalaren Multiplikation zieht man vorher auch ein a ab um später dann wieder eines dazuzuaddieren.

Muss ich hier jetzt einfach die Untervektorraumeigenschaften von a+U auf $\begin{eqnarray*} V_a \end{eqnarray*}$ überprüfen?
Dann müsste ich zeigen
1) a+U ist nicht leer
2) $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in a+U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x+y \in a+U \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \forall x \in a+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s\in R \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} s*x \in a+U \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Vielen Dank schonmal! smile

16.06.2012, 19:32

Leopold

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Ja, aber vorher mußt du natürlich überprüfen, daß die Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit den angegebenen Operationen überhaupt eine Vektorraumstruktur trägt. Der besseren Lesbarkeit halber schreibe ich $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} +_{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \cdot_{a} \end{eqnarray*}$ . Das Assoziativgesetz weist man z.B. so nach:

Für $\begin{eqnarray*} x,y,z \in V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \left( x \oplus y \right) \oplus z = (x+y-a) \oplus z = x+y-a+z-a = x+y+z-2a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \oplus \left( y \oplus z \right) = x \oplus \left( y+z-a \right) = x+y+z-a-a = x+y+z-2a \end{eqnarray*}$

Ein Vergleich zeigt: $\begin{eqnarray*} \left( x \oplus y \right) \oplus z = x \oplus \left( y \oplus z \right) \end{eqnarray*}$

Und jetzt du: Kommutativgesetz, neutrales Element (es ist nicht der Nullvektor des alten Vektorraumes), inverse Elemente der Addition (die Inversen sind auch hier nicht die alten). Dann die vier Gesetze der skalaren Multiplikation.

Und erst dann geht es daran zu beweisen, daß $\begin{eqnarray*} a+U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum ist.

16.06.2012, 20:10

SilverShadow

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Hä, aber es steht doch schon explizit da, dass $\begin{eqnarray*} V_a \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist?
Das muss ich dann doch nicht mehr nachweisen?

16.06.2012, 20:40

SilverShadow

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1) Kommutativgesetz; z.z.: Es gilt $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in V x+y=y+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v+_a w= v+w-a=w+v-a=w+_a v \end{eqnarray*}$

2) neutrales Element, z.z.: Es gibt genau ein neutrales Element 0 in V, sodass $\begin{eqnarray*} \forall x \in V x+0=x \end{eqnarray*}$ gilt.
$\begin{eqnarray*} v+_a 0 = v+0-a \end{eqnarray*}$ -> Es muss $\begin{eqnarray*} 0:= 0+a=a \end{eqnarray*}$ gelten, denn dann ist $\begin{eqnarray*} v+_a 0=v \end{eqnarray*}$
-> Es gibt ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} 0:=a \end{eqnarray*}$

3) Inverses Element der Addition, z.z.: Es gibt genau ein $\begin{eqnarray*} -x \in V \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x+-x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+_a y=x+y-a \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} (-x):=-x+a \end{eqnarray*}$ , denn dann gilt $\begin{eqnarray*} x+_a (-x)=0 \end{eqnarray*}$

4) Skalare Multiplikation; seien $\begin{eqnarray*} s,u \in R \end{eqnarray*}$
a) z.z.: $\begin{eqnarray*} (s+u)x=sx+ux \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (s+u)x=s(x-a)+a+u(x-a)+a=sx+ux--sa-ua+2a \end{eqnarray*}$
Reicht das so?
b) z.z.: $\begin{eqnarray*} s(x+y)=sx+sy \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} s(x+_a y-_a a)=s(x+y-a-a) \end{eqnarray*}$
.... Was mache ich hier jetzt mit dem $\begin{eqnarray*} x+y-a \end{eqnarray*}$ ?
c) z.z.: $\begin{eqnarray*} (su)x=s(ux) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (su)*_a x=s(v-a)+a+u(v-a)+a \end{eqnarray*}$
Wiedermal die Frage, reicht das?

d) z.z.: 1*x=x
$\begin{eqnarray*} s*_a x= s(x-a)+a=sx-sa+a \end{eqnarray*}$ Jetzt müsste ich das irgendwie multiplizieren, um wieder auf =x zu kommen :/

16.06.2012, 21:11

Leopold

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Vieles stimmt nicht.

1. Zunächst solltest du dich entscheiden, ob du $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ usw. oder $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ usw. schreiben willst (Kommutativgesetz).

2. Du darfst das neutrale Element nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ nennen. DAS IST VERBOTEN! Denn $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ steht für das neutrale Element des alten Vektorraums. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist das neutrale Element der Addition. Und damit mußt du dich abfinden: Hier wird der Nullvektor mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bezeichnet.

3. Ebenso VERBOTEN ist es, das inverse Element durch ein übliches Minuszeichen zu kennzeichnen, denn dieses steht ja für die Inversenbildung im alten Vektorraum. Du mußt ein neues Minuszeichen kreieren oder die Inversenbildung irgendwie anders kennzeichnen, z.B. durch Überstreichung. Darüberhinaus stimmt dein Inverses auch gar nicht. Beachte: Ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so muß $\begin{eqnarray*} x \oplus y = a \end{eqnarray*}$ gelten, denn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist ja jetzt der Nullvektor (hier ist schon passiert, was ich bei 2. befürchtet habe!).

Die Gesetze der skalaren Multiplikation habe ich mir nicht angeschaut.

16.06.2012, 21:27

SilverShadow

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1) Die erste Zeile ist immer die allgemeine Definition, deswegen x,y.
Aber ja, ich hätte natürlich auch gleich v,w nehmen können.

2) Gut, dann sage ich einfach gleich, dass a das neutrale Element der Addition ist, auch kein Problem.

3) Also könnte ich z. B. $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ als inverses Element definieren.
Das ist jetzt aber auch merkwürdig, weil wenn ich $\begin{eqnarray*} x+_a y=x+y-a \end{eqnarray*}$ habe und $\begin{eqnarray*} x+x_i= -a \end{eqnarray*}$ erreichen will (ob +a oder -a ist ja egal?), dann wäre $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x+_a x_i=x-x-a=-a \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} x_i :=-x. \end{eqnarray*}$

17.06.2012, 12:08

Leopold

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Zitat:

Original von SilverShadow
1) Die erste Zeile ist immer die allgemeine Definition, deswegen x,y.
Aber ja, ich hätte natürlich auch gleich v,w nehmen können.

Nicht können, müssen! Bezeichner innerhalb eines mathematischen Kontextes sind eindeutig zu wählen. Am Anfang festlegen (da hast du Freiheit!), dann verwenden (da bist du gebunden!).

Zitat:

Original von SilverShadow
2) Gut, dann sage ich einfach gleich, dass a das neutrale Element der Addition ist, auch kein Problem.

Das klingt so, als würdest du das nur widerwillig tun. Du hast hier keine (!) Freiheit, die Logik zwingt dich dazu. Oder du bekommst Unsinn. Und bei 3) ist ja auch genau deshalb gleich das nächste Unglück passiert.

Zitat:

Original von SilverShadow
3) Also könnte ich z. B. $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ als inverses Element definieren.
Das ist jetzt aber auch merkwürdig, weil wenn ich $\begin{eqnarray*} x+_a y=x+y-a \end{eqnarray*}$ habe und $\begin{eqnarray*} x+x_i= -a \end{eqnarray*}$ erreichen will (ob +a oder -a ist ja egal?), dann wäre $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} x+_a x_i=x-x-a=-a \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} x_i :=-x. \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht. Das additive Inverse $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ muß, zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ addiert, das neutrale Element geben. Zu lösen ist also die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x \oplus y = a \end{eqnarray*}$

Das aus dieser Gleichung zu berechnende $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ kannst du dann z.B. $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \hat{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -_a \, x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \ominus x \end{eqnarray*}$ oder sonstwie nennen (da hast du Freiheit!), nur nicht $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ , denn dieses Minuszeichen ist durch den alten Vektorraum schon belegt. Entscheide dich in deinem Text für eine Bezeichnung und halte dich dann von da ab daran (siehe Bemerkung zu 1)).

17.06.2012, 12:13

SilverShadow

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Achso, dass additive inverse wäre dann -x+2a?

Weil x+y (y hier für das inverse)=x-x+2a-a=a

17.06.2012, 16:58

Leopold

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Zitat:

Original von SilverShadow
Achso, dass additive inverse wäre dann -x+2a?

Weil x+y (y hier für das inverse)=x-x+2a-a=a

Na ja ...

17.06.2012, 17:03

SilverShadow