integral |
| 03.10.2003, 16:14 | hanna | Auf diesen Beitrag antworten » |
| integral habe ein problem mit einer aufgabe. ich weiß nciht so recht, wie ich sie angehn soll, bitte hilfe!! ich soll das integral von x+1 über a nach b berechnen. mit hilfe der streifenmethode, also ober- oder untersumme. die breite ist js schon mal b/n, wenn a=0 und weiter?? schonmal danke. hanna |
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| 03.10.2003, 18:46 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Man kann es folgendermaßen rechnen (Ich werde die untersumme benutzen, aber mit der Obersumme geht es ebenso): Gegeben: f(x)=x+1 Gesuch: das bestimmte Integral von f(x)dx im Intervall [a;b] Du hast n Streifen mit der Breite (b-a)/n. Die Streifen befinden sich im Intervall [a+k*(b-a)/n; a+(k+1)*(b-a)/n] wobei 0<=k<n. Die Höhe jedes Streifens ist das Minimun von f(x) in jedem Intervall. Da f(x) streng monoton steigend ist, ist das Minimum der kleinste Wert jedes Intervall (ganz links), nämlich a+k*(b-a)/n. Der Flächeninhalt jedes einzelnen Streifens ist Breite*Höhe und gesucht die Summe aller Streifen. A=(b-a)/n*S(f(a+k*(b-a)/n),k,0,n-1) Die Funktion S(a,b,c,d) ersetzt das Summenzeichen. Bedeutung: Die Summe aller a, von b=c bis b=d. Nach einigen Umformungen gelangt man zu einem Zwischenergebnis: A=(n-1)/n*(b-a+(b²-a²)/2) Nun müssen wir noch den Grenzwert bilden von n gegen unendlich (es sollen sehr viele sehr dünne Streifen sein). lim((n-1)/n*(b-a+(b²-a²)/2))=(b-a+(b²-a²)/2) weil lim((n-1)/n*d)=lim(d-d/n)=d Das Ergebnis ist also A=(b-a+(b²-a²)/2) |
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| 04.10.2003, 18:13 | martins1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nachtrag zu meiner Erklärung: Hier ist ausfürlicher dargelegt, wie man zum ersten Zwischenergebnis kommt. Ich habe ein Konstante c eingeführt, um die Rechnung zu vereinfachen. c=(b-a)/n |
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