Potenzreihenrand

16.06.2012, 15:10

ralpho

Potenzreihenrand

Zitat:

Man betrachte die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} P(z)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}z^n \end{eqnarray*}$ und geben sie an für welche |z| P(z) konvergent ist? Ist die Funktion auch auf $\begin{eqnarray*} \{ z \in \mathbb{C}:|z|\leq p\} \end{eqnarray*}$ stetig?

Hallo,
Ich hänge gerade etwas bei dieser Aufgabe. Den Konvergenzradius hab ich mir einfach ausgerechnet, er liegt bei 1. Nun muss ich ja den Rand untersuchen. Hier hänge ich schon. Mit dem Quotientenkriterum komme ich nur auf n^2/(n+1)^2 was aber nicht kleiner 1 ist. Wie komme ich hier weiter?

danke
Ralph

16.06.2012, 18:50

Ungewiss

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Mit dem Weierstrass Majorantenkriterium kannst du die gleichmässige Konvergenz auf dem abgeschlossenen Einheitskreis nachweisen.

16.06.2012, 19:51

ralpho

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Hallo,
Danke für den Tipp. Würde das so stimmen:
$\begin{eqnarray*} |\frac{1}{n^2}z^n|=|z^n|\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$
Dieser Ausdruck ist genau dann kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} |z^n|\leq 1 \end{eqnarray*}$ .
Danke
Ralph

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