Umschreiben

16.06.2012, 15:13

Marcel 19

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Umschreiben

Meine Frage:
Hi Wie kann ich diese Funktion umschreiben das auf der einen seite nur y und auf der rechten seite nur t stehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} =e^{2t+3y(t)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Villeicht indem ich log einsetze für die e funktion?

16.06.2012, 16:16

Kasen75

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Hallo Marcel,

du kannst die Gleichung folgendermaßen umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} =e^{2t} \cdot e^{3y(t)} \end{eqnarray*}$

Danach $\begin{eqnarray*} dt \end{eqnarray*}$ auf die rechte Seite und $\begin{eqnarray*} e^{3y(t)} \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite.

Hast du noch irgendwelche Werte gegeben? So was wie $\begin{eqnarray*} y(e^2) = 5 \end{eqnarray*}$ .

Mit freundlichen Grüßen.

16.06.2012, 16:20

Marcel 19

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y(2)=2

16.06.2012, 16:26

Kasen75

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Aha.

Die Lösung der Aufgabe, so wie sie dasteht, ist relativ schwierig. Überprüf bitte noch mal die Angaben.

16.06.2012, 16:26

Marcel 19

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dann steht da das!

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{e^{3y(t)} )}=e^{2t}*dt \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 16:28

Kasen75

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Richtig.

Das kann man umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} e^{-3y} \ dy = e^{2t} \ dt \end{eqnarray*}$

Jetzt integrieren.

Unter der Annahme, dass die Angaben richtig sind.

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16.06.2012, 16:30

Marcel 19

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jaa die angaben stimmen so!!

16.06.2012, 16:32

Kasen75

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Super.

16.06.2012, 16:35

Marcel 19

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Mit integration steht da`:

$\begin{eqnarray*} \frac{y^{2} }{2e^{3} } =\frac{e^{2}*t^{2} }{2} \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 16:39

Kasen75

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Nach der Integration steht jeweils kein y und kein t als Faktor vor der e-Funktion, sonder nur eine Zahl (z.B. Bruch).

Bitte noch mal versuchen.

16.06.2012, 16:40

Kasen75

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Und die Hochzahlen der e-Funktionen auf beiden Seiten bleiben erhalten.

16.06.2012, 16:49

Marcel 19

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soo

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-3}*y^{2} }{2} =\frac{e^{2}*t^{2} }{2} \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 16:55

Kasen75

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Lass mal $\begin{eqnarray*} y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ weg. Und die Hochzahlen (-3y, 2t) der e-Funktionen bleiben vollständig erhalten.

Noch mal versuchen.

Schreib gleich auf die linke Seite $\begin{eqnarray*} e^{-3y} \end{eqnarray*}$ und auf die rechte Seite $\begin{eqnarray*} e^{2t} \end{eqnarray*}$ . Dann musst du nur noch schauen, dass die Ableitung eben diese Ausdrücke ergibt. Deswegen musst du noch Faktoren vor $\begin{eqnarray*} e^{-3y} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{2t} \end{eqnarray*}$ schreiben.

16.06.2012, 17:02

Marcel 19

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sooo???

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^{-3y}=\frac{1}{2}*e^{2t} \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 17:18

Kasen75

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Perfekt!

Mit Konstanten:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^{-3y}+C_1=\frac{1}{2}*e^{2t}+C_2 \end{eqnarray*}$

Konstanten zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^{-3y}=\frac{1}{2}*e^{2t}+C_2-C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C_3=C_2-C_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^{-3y}=\frac{1}{2}*e^{2t}+C_3 \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite entfernen.

Und danach die $\begin{eqnarray*} 3y \end{eqnarray*}$ im Exponenten runterholen.

Bin für 20 min weg.

16.06.2012, 17:55

Marcel 19

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nach y aufgelösst ist:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{\frac{1}{2}*e^{2t}*-3*ln }{-0,33333} \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 18:16

Kasen75

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Ich hab da ein bisschen was anderes heraus.

Letzte Gleichung.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*e^{-3y}=\frac{1}{2}*e^{2t}+C_3 \end{eqnarray*}$

mal (-3)

$\begin{eqnarray*} e^{-3y}=-\frac{3}{2}*e^{2t}-3 \cdot C_3 \end{eqnarray*}$

Das ist mehr oder minder das was du raus hast für y. Nur dass die Konstante fehlt und du schon logarithmiert hast.

Ich logarithmiere jetzt:

$\begin{eqnarray*} -3y=ln \Bigg(-\frac{3}{2}*e^{2t}-3 \cdot C_3 \Bigg) \end{eqnarray*}$

durch (-3)

$\begin{eqnarray*} y=\frac{ln \Bigg(-\frac{3}{2}*e^{2t}-3 \cdot C_3 \Bigg)}{-3} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch $\begin{eqnarray*} -3 \cdot C_3 \end{eqnarray*}$ duch $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ ersetzen.

$\begin{eqnarray*} y=\frac{ln \Bigg(-\frac{3}{2}*e^{2t}+C_4 \Bigg)}{-3} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Bedingung in die Gleichung einsetzen und $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

16.06.2012, 18:26

Marcel 19

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Was mach ich wenn ich c4 raus habe?

16.06.2012, 18:36

Kasen75

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Dann in diese Gleichung einsetzen:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{ln \Bigg(-\frac{3}{2}*e^{2t}+C_4 \Bigg)}{-3} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann die Lösung. Wie gesagt, die Aufgabe ist ungleich schwerer als die gestrigen.

16.06.2012, 18:42

Marcel 19

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ich habe da -6 raus kann das sein

16.06.2012, 18:51

Kasen75

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ich habe was anderes raus.

zeig doch mal die ersten beiden Rechenschritte, wie du nach $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ auflöst.

Vorher aber für t den Wert 2 einsetzen. Genauso für y den Wert 2 einsetzen.

16.06.2012, 19:05

Marcel 19

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mal -3

$\begin{eqnarray*} -6=ln(-\frac{3}{2}*e^{4}+c4) \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 19:10

Kasen75

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Genau.

nächster Schritt:

$\begin{eqnarray*} e^{-6}= -\frac{3}{2}*e^{4}+c4 \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}*e^{4} \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite.

16.06.2012, 19:14

Marcel 19

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Dann kommt da ein wert von 81,9 raus!!

16.06.2012, 19:21

Kasen75

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hab dasselbe raus.

Man kann aber auch für $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ den Ausdruck $\begin{eqnarray*} e^{-6}+\frac{3}{2}e^4 \end{eqnarray*}$ so stehen lassen. Wenn man will.

Für die Lösung muss man nur noch $\begin{eqnarray*} C_4 \end{eqnarray*}$ ersetzen:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{ln \Bigg(-\frac{3}{2}*e^{2t}+C_4 \Bigg)}{-3} \end{eqnarray*}$

16.06.2012, 19:24

Marcel 19

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ok aber damit ist die aufgabe durch oder?

16.06.2012, 19:29

Kasen75

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Damit wäre die Aufgabe durch. Big Laugh

Big Laugh

Ich würde mir an deiner Stelle noch mal die Aufgaben anschauen, die wir gestern gemacht haben. Erst wenn du die vollständig verstanden hast, kannst du dir noch mal die hier anschauen. Wie du gesehen hast, ist die viel viel schwerer.

16.06.2012, 19:45

Marcel 19

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Super ich danke dir für deine Hilfe!!!!
smile

smile

Wink

Freude

verwirrt

Bis dann!!

16.06.2012, 19:54

Kasen75

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Bis demnächst. Wenn du noch Fragen, insbesondere zu den gestrigen Aufgaben, hast, kannst dich gerne wieder melden.

Grüße,

Kasen Wink

Wink

Wink

16.06.2012, 20:09

Marcel 19

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super werde ich machen!!

Wink

Wink

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